Koronavirus i matematičko obrazovanje – djelimično naručene zbirke

Virus koji nas je pogodio pokreće brzu reformu obrazovanja. posebno na višim nivoima obrazovanja. Na ovu temu možete napisati duži esej, sigurno će biti niz doktorskih disertacija o metodologiji učenja na daljinu. Sa određene tačke gledišta, ovo je povratak korijenima i zaboravljenim navikama samoučenja. Tako je bilo, na primjer, u srednjoj školi u Kremenjecu (u Kremenjecu, sada u Ukrajini, koja je postojala 1805-31, vegetirala do 1914, a svoj procvat doživjela je 1922-1939). Učenici su tu učili sami - tek nakon što su naučili dolazili su nastavnici sa ispravkama, završnim pojašnjenjima, pomoći na teškim mjestima itd. e. Kada sam postao student, govorili su i da sami stičemo znanja, da samo naručujemo i šaljemo nastavu na fakultet. Ali tada je to bila samo teorija...

U proljeće 2020. nisam jedini koji je otkrio da se lekcije (uključujući predavanja, vježbe itd.) mogu vrlo efikasno izvoditi na daljinu (Google Meet, Microsoft Teams, itd.), po cijenu puno posla sa strane nastavnika i samo želja da se "obrazuje" s druge strane; ali i sa malo udobnosti: sjedim kod kuće, u svojoj fotelji, a na tradicionalnim predavanjima studenti su često radili i nešto drugo. Efekat ovakvog treninga može biti čak i bolji nego kod tradicionalnog, koji datira iz srednjeg veka, sistema razred-čas. Šta će ostati od njega kada virus ode u pakao? Mislim… dosta. Ali videćemo.

Danas ću govoriti o djelimično naručenim setovima. To je jednostavno. Budući da se binarna relacija u nepraznom skupu X naziva relacija parcijalnog reda kada postoji

(Tadeusz Kotarbinski, 1886-1981, filozof,

Predsjednik Poljske akademije nauka 1957–1962).

1. Refleksivno, tj. za svaki ∈ postoji ",
2. Prolaznik, tj. ako ", i ", onda ",
3. Poluasimetrična, tj. ("∧")→ =

String je skup sa sljedećim svojstvom: za bilo koja dva elementa, ovaj skup je ili "ili y". Antichain je...

Stani, stani! Može li se išta od ovoga razumjeti? Naravno da jeste. Ali da li je neko od čitalaca (znajući drugačije) već shvatio o čemu se radi?

Ne mislim! A ovo je kanon nastave matematike. Takođe u školi. Prvo pristojna, stroga definicija, a onda će oni koji nisu zaspali od dosade sigurno nešto shvatiti. Ovu metodu su nametnuli "veliki" nastavnici matematike. Mora biti oprezan i strog. Istina je da na kraju tako i treba da bude. Matematika mora biti egzaktna nauka (vidi također: ).

Moram priznati da sam na univerzitetu na kojem radim nakon što sam otišao u penziju sa Univerziteta u Varšavi, i predavao toliko godina. Samo u njemu bila je ozloglašena kanta hladne vode (neka tako i ostane: kanta je bila potrebna!). Odjednom je visoka apstrakcija postala lagana i prijatna. Obratite pažnju: lako ne znači lako. Lajt bokser takođe ima teškoće.

Smiješim se svojim uspomenama. Osnove matematike predavao mi je tadašnji dekan katedre, prvoklasni matematičar koji je upravo stigao sa dugog boravka u Sjedinjenim Državama, što je u to vrijeme samo po sebi bilo nešto izvanredno. Mislim da je bila malo snobovska kad je malo zaboravila poljski. Zloupotrebila je staro poljsko "šta", "dakle", "azaleja" i skovala termin: "poluasimetrična veza". Volim ga koristiti, zaista je precizan. Sviđa mi se. Ali ja to ne zahtijevam od studenata. Ovo se obično naziva "niska antisimetrija". Deset prelepih.

Davno, jer je sedamdesetih godina (prošlog veka) došlo do velike, radosne reforme nastave matematike. To se poklopilo s početkom kratkog perioda vladavine Eduarda Giereka - izvjesnog otvaranja naše zemlje prema svijetu. „Djecu se može podučavati i višu matematiku“, uzvikivali su Veliki Učitelji. Za djecu je sastavljen sažetak univerzitetskog predavanja „Osnove matematike“. To je bio trend ne samo u Poljskoj, već i širom Evrope. Rješavanje jednačine nije bilo dovoljno, svaki detalj je morao biti objašnjen. Da ne bude neosnovano, svaki od Čitalaca može riješiti sistem jednačina:

ali učenici su morali da opravdaju svaki korak, da se pozivaju na relevantne izjave itd. To je bio klasični višak forme nad sadržajem. Lako mi je sada da kritikujem. I ja sam svojevremeno bio pobornik ovakvog pristupa. Uzbudljivo je... za mlade ljude koji su strastveni za matematiku. Ovo je, naravno, bio (i, pažnje radi, ja).

Ali dosta digresije, pređimo na posao: predavanje koje je "teoretski" bilo namijenjeno studentima druge godine Politehnike i bilo bi suho kao kokosove pahuljice da nije bilo nje. malo preterujem...

Dobro jutro za tebe. Današnja tema je djelomično čišćenje. Ne, ovo nije nagovještaj nemarnog čišćenja. Najbolje poređenje bi bilo da razmislite šta je bolje: paradajz supa ili krem ​​kolač. Odgovor je jasan: zavisi od čega. Za desert - kolačići, a za hranljivo jelo: supa.

U matematici se bavimo brojevima. Oni su poređani: oni su veći i manji, ali od dva različita broja, jedan je uvijek manji, što znači da je drugi veći. Oni su poredani po redu, kao slova u abecedi. U razrednom dnevniku redoslijed može biti sljedeći: Adamchik, Baginskaya, Khoinitsky, Derkovsky, Elget, Filipov, Gzhechnik, Kholnitsky (oni su prijatelji i drugovi iz mog razreda!). Također ne sumnjamo da je Matusyak "Matushelyansky" Matushevsky "Matisyak. Simbol za "dvostruku nejednakost" ima značenje "prije".

U mom putničkom klubu pokušavamo da spiskove napravimo po abecednom redu, ali po imenu, na primjer, Alina Wrońska "Warvara Kaczarska", Cesar Bouschitz, itd. U službenoj evidenciji redoslijed bi bio obrnut. Matematičari abecedni red nazivaju leksikografskim (leksikon je manje-više kao rečnik). S druge strane, takav poredak, u kojem u imenu koje se sastoji od dva dijela (Michal Shurek, Alina Wronska, Stanislav Smazhinsky) prvo gledamo drugi dio, predstavlja antileksikografski poredak za matematičare. Dugi naslovi, ali vrlo jednostavan sadržaj.

1. Linearni redoslijed: stanice i stajališta na pruzi Habovka-Zakopane od Podhalea, izgrađene 1899. godine (dešifriranje skraćenica prepuštam čitaocu).

Svi takvi nalozi se zovu linijski nalozi. Naručujemo redom: prvo, drugo, treće. Sve je u redu, od prve do zadnje tačke. To nema uvijek smisla. Na kraju krajeva, knjige u biblioteci ne raspoređujemo ovako, već u sekcije. Samo unutar odjeljenja raspoređujemo linearno (obično po abecednom redu).

2. Linearni redosled: prilikom pokretanja motora automobila, radnje izvodimo u skladu sa redosledom.

Kod većih projekata, posebno u timskom radu, više nemamo linearni poredak. Hajde da pogledamo sl. 3. Želimo da izgradimo mali hotel. Već imamo novac (ćelija 0). Izrađujemo dozvole, prikupljamo materijal, počinjemo gradnju, a istovremeno vodimo reklamnu kampanju, tražimo zaposlene i tako dalje i tako dalje. Kada stignemo do "10", prvi gosti se mogu prijaviti (primjer iz priča gospodina Dombrowskog i njihovog malog hotela u predgrađu Krakova). Imamo nelinearni poredak – neke stvari se mogu dešavati paralelno.

U ekonomiji ćete naučiti o konceptu kritičnog puta. Ovo je skup radnji koje se moraju izvoditi sekvencijalno (a to se u matematici zove lanac, više o tome za trenutak), a koje oduzimaju najviše vremena. Smanjenje vremena izgradnje je reorganizacija kritičnog puta. Ali više o tome na drugim predavanjima (podsjećam da čitam „univerzitetsko predavanje“). Fokusirani smo na matematiku.

Dijagrami poput slike 3 nazivaju se Hasse dijagrami (Helmut Hasse, njemački matematičar, 1898–1979). Svaki složeni napor mora biti planiran na ovaj način. Vidimo niz akcija: 1-5-8-10, 2-6-8, 3-6, 4-7-9-10. Matematičari ih zovu stringovi. Cijela ideja se sastoji od četiri lanca. Nasuprot tome, grupe aktivnosti 1-2-3-4, 5-6-7 i 8-9 su antilančani. Evo kako se zovu. Činjenica je da u određenoj grupi nijedna akcija ne zavisi od prethodne.

4. Ovo je također Hasseov dijagram.

pojdem slika 4. Šta je impresivno? Ali to bi mogla biti karta metroa u nekom gradu! Podzemne pruge su uvijek grupisane u pruge - ne prelaze od jedne do druge. Linije su zasebne linije. U gradu Fig. 4 je peć liniju (zapamtite to peć piše "boldem" - na poljskom se zove poludebeo).

Na ovom dijagramu (slika 4) nalazi se kratki žuti ABF, ACFPS sa šest stanica, zeleni ADGL, plavi DGMRT i najduži crveni. Matematičar će reći: ovaj Hasseov dijagram ima peć lancima. Na crvenoj je liniji sedam stanica: AEINRUW. Šta je sa antilancima? Tu su oni sedam. Čitalac je već primijetio da sam dva puta podvukao riječ sedam.

Anticep ovo je toliki skup stanica da je nemoguće doći od jedne do druge bez presjedanja. Kada se malo "razumijemo", vidjet ćemo sljedeće antilance: A, BCLTV, DE, FGHJ, KMN, PU, ​​SR. Provjerite, na primjer, nije moguće putovati s bilo koje BCLTV stanice na drugu BCTLV bez promjene, tačnije: bez potrebe da se vratite na stanicu prikazanu ispod. Koliko ima antilanaca? Sedam. Koja je veličina najveća? Peći (opet podebljano).

Možete zamisliti, studenti, da podudarnost ovih brojeva nije slučajna. Ovo je. To je otkrio i dokazao (tj. uvijek tako) 1950. godine Robert Palmer Dilworth (1914–1993, američki matematičar). Broj redova potrebnih za pokrivanje cijelog skupa jednak je veličini najvećeg antilanca, i obrnuto: broj antilanaca jednak je dužini najdužeg antilanca. To je uvijek slučaj u djelimično uređenom skupu, tj. onaj koji se može vizualizirati. Hassego dijagram. Ovo nije sasvim stroga i ispravna definicija. To je ono što matematičari zovu "radna definicija". Ovo se donekle razlikuje od "radne definicije". Ovo je nagovještaj kako razumjeti djelimično uređene skupove. Ovo je važan dio svake obuke: pogledajte kako funkcionira.

Engleska skraćenica je - ova riječ zvuči lijepo na slovenskim jezicima, pomalo kao čičak. Imajte na umu da je čičak također razgranat.

Veoma lepo, ali kome treba? Vama, dragi studenti, potreban je za polaganje ispita, a ovo je vjerovatno dovoljan razlog da ga učite. Slušam, koja pitanja? Slušam, gospodine ispod prozora. Oh, pitanje je da li će ovo ikada biti korisno za Gospoda u tvom životu? Možda ne, ali za nekog pametnijeg od vas, sigurno... Možda za analizu kritičnog puta u složenom ekonomskom projektu?

Pišem ovaj tekst sredinom juna, na Varšavskom univerzitetu su izbori za rektora. Pročitao sam nekoliko komentara korisnika interneta. Postoji iznenađujuća količina mržnje (ili “mržnje”) prema “obrazovanim ljudima”. Neko je otvoreno napisao da ljudi sa fakultetskim obrazovanjem znaju manje od onih sa fakultetskim obrazovanjem. Naravno, neću ulaziti u diskusiju. Tužan sam samo što se u Narodnoj Republici Poljskoj vraća ustaljeno mišljenje da se sve može uraditi čekićem i dlijetom. Vraćam se matematici.

Dillworthova teorema ima nekoliko zanimljivih aplikacija. Jedna od njih je poznata kao teorema braka.sl. 6). 

Postoji grupa žena (radije devojaka) i nešto veća grupa muškaraca. Svaka devojka misli ovako: "Mogla bih se udati za ovog, za drugog, ali nikad u životu za trećeg." I tako dalje, svako ima svoje preferencije. Crtamo dijagram, koji vodi do svakog od njih po jednu strelicu od tipa kojeg ne odbacuje kao kandidata za oltar. P: Mogu li se parovi upariti tako da svaki pronađe muža kojeg prihvata?

Teorema Philipa Halla, kaže da se to može učiniti - pod određenim uslovima, o kojima neću ovde (onda na sledećem predavanju, studenti, molim). Imajte na umu, međutim, da se muško zadovoljstvo ovdje uopće ne spominje. Kao što znate, žene su te koje biraju nas, a ne obrnuto, kako se nama čini (podsjećam da sam ja autor, a ne autor).

Ozbiljna matematika. Kako Hallova teorema slijedi iz Dilwortha? Vrlo je jednostavno. Pogledajmo ponovo sliku 6. Lanci tamo su vrlo kratki: imaju dužinu od 2 (kreću u smjeru). Set čovječuljki je antilanac (upravo zato što su strijele samo prema). Dakle, cijelu kolekciju možete pokriti sa onoliko antilanaca koliko ima muškaraca. Tako će svaka žena imati strelu. A to znači da može izgledati kao tip kojeg prihvata!!!

Čekaj, neko pita, je li to sve? Je li to sve aplikacija? Hormoni će se nekako slagati i zašto matematika? Prvo, ovo nije cijela aplikacija, već samo jedna iz velike serije. Pogledajmo jednu od njih. Neka (sl. 6) ne podrazumevaju predstavnike lepšeg pola, već prozaične kupce, a to su brendovi, na primer, automobili, mašine za pranje veša, proizvodi za mršavljenje, ponude turističkih agencija itd. Svaki kupac ima brendove koje prihvata i odbija. Može li se nešto učiniti da se svima nešto proda i kako? Tu ne završavaju samo šale, već i znanje autora članka na ovu temu. Znam samo da se analiza zasniva na prilično složenoj matematici.

Predavanje matematike u školi je učenje algoritama. Ovo je važan dio učenja. Ali polako idemo ka podučavanju ne toliko matematike koliko matematičke metode. Današnje predavanje je bilo samo o ovome: govorimo o apstraktnim mentalnim konstrukcijama, razmišljamo o svakodnevnom životu. Riječ je o lancima i antilancima u skupovima s inverznim, tranzitivnim i drugim relacijama koje koristimo u modelima prodavač-kupac. Računar će obaviti sve proračune umjesto nas. On još neće stvarati matematičke modele. I dalje pobjeđujemo svojim razmišljanjem. U svakom slučaju, nadamo se što duže!