Za novu školsku godinu

Većina čitalaca bila je negdje na odmoru - bilo u našoj lijepoj zemlji, u susjednim zemljama, a možda i u inostranstvu. Iskoristimo ovo dok su nam granice otvorene... Koji je bio najčešći znak na našim kratkim i dugim putovanjima? Ovo je strelica koja pokazuje prema izlazu sa autoputa, nastavku planinske staze, ulazu u muzej, ulazu na plažu i tako dalje i tako dalje. Šta je toliko zanimljivo u svemu ovome? Nije baš dobro matematički. Ali razmislimo: ovaj znak je očigledan svima... predstavnicima civilizacije u kojoj su nekada pucali iz luka. Istina, to je nemoguće dokazati. Ne znamo ni za jednu drugu civilizaciju. Međutim, matematički zanimljiviji je pravilan pentagon i njegova zvijezdasta varijanta - pentagram.

Ne trebamo imati nikakvo obrazovanje da bismo ove brojke smatrali intrigantnim i zanimljivim. Ako ste, čitaoče, pili konjak sa pet zvezdica u hotelu sa pet zvezdica na Place des Stars u Parizu, onda ste možda... rođeni pod srećnom zvezdom. Kada nam neko zatraži da nacrtamo zvezdu, mi ćemo bez oklijevanja nacrtati petokraku, a kada se sagovornik iznenadi: „Ovo je simbol bivšeg SSSR-a!“, možemo odgovoriti: Ergela!

Pentagram, ili zvijezda petokraka, pravilni pentagon, ovladalo je cijelom čovječanstvom. Najmanje četvrtina zemalja, uključujući Sjedinjene Države i bivši SSSR, uvrstila ga je u svoje ambleme. Kao djeca, naučili smo crtati zvijezdu petokraku bez podizanja olovke sa stranice. U odrasloj dobi, ona postaje naša zvijezda vodilja, nepromjenjiva, daleka, simbol nade i sudbine, proročište. Pogledajmo ovo izvana.

Šta nam zvijezde govore?

Istoričari se slažu: sve do 7. vijeka prije nove ere, intelektualno nasljeđe naroda Evrope ostalo je u sjeni kultura Babilona, ​​Egipta i Fenikije. I odjednom šesto stoljeće donosi preporod i tako brz razvoj kulture i nauke da neki novinari (na primjer, Däniken) tvrde – teško je reći da li i sami u to vjeruju – da to ne bi bilo moguće bez intervencije zatvorenike. iz svemira.

Kada je u pitanju Grčka, slučaj ima racionalno objašnjenje: kao rezultat seobe naroda, stanovnici Peloponeskog poluostrva saznaju više o kulturi susjednih zemalja (na primjer, feničanska slova prodiru u Grčku i poboljšavaju pismo) , i sami počinju kolonizirati mediteranski bazen. To su uvek veoma povoljni uslovi za razvoj nauke: nezavisnost u kombinaciji sa kontaktima sa svetom. Bez nezavisnosti, osuđujemo se na sudbinu banana republika Centralne Amerike, bez kontakata – na Sjevernu Koreju.

Brojevi su važni

6. vek pre nove ere bio je poseban vek u istoriji čovečanstva. Ne znajući ili možda čuvši jedno za drugo, tri velika mislioca su poučavala: Buda, Konfucije i Pitagora. Prva dva su stvorila religije i filozofske sisteme koji i danas postoje. Je li uloga trećeg od njih ograničena na otkrivanje jednog ili drugog svojstva određenog trougla?

Na prelazu iz 624. u 546. vek (oko XNUMX. - oko XNUMX. pre Hrista) u Miletu u modernoj Maloj Aziji živeo je Tako. Neki izvori kažu da je bio naučnik, drugi da je bio imućan trgovac, a treći ga nazivaju preduzetnikom (očigledno je u jednoj godini kupio sve preše za ulje, a zatim ih posudio za lihvarsku naknadu). Neki, prema sadašnjoj modi i obrascu bavljenja naukom, u njemu, pak, vide pokrovitelja: očigledno je pozvao mudrace, nahranio ih i liječio, a zatim rekao: „Pa, radi za moju slavu i svu nauku.” Međutim, mnogi ozbiljni izvori su skloni tvrdnji da Tales, od krvi i mesa, uopće nije postojao, a njegovo je ime samo služilo kao personifikacija određenih ideja. Kako je bilo, tako je bilo, a vjerovatno nikada nećemo saznati. Historičar matematike E. D. Smith je napisao da nije bilo Talesa, ne bi bilo Pitagore ili bilo koga poput Pitagore, a bez Pitagore ne bi bilo Platona ili bilo koga poput Platona. Vjerovatnije. Ostavimo, međutim, po strani ono što bi se dogodilo da.

Pitagora (oko 572. - oko 497. pne) je predavao u Krotoni u južnoj Italiji i tamo je rođen intelektualni pokret nazvan po majstoru: pitagorejstvo. Bio je to etičko-religijski pokret i udruženje, zasnovano, kako bismo ga danas nazvali, na tajnama i tajnim učenjima, gledajući na proučavanje nauke kao na jedno od sredstava za pročišćavanje duše. Tokom jedne ili dvije generacije, pitagoreizam je prošao kroz uobičajene faze razvoja ideja: početni rast i ekspanziju, krizu i pad. Zaista sjajne ideje ne završavaju tu i nikada ne umiru zauvijek. Intelektualno učenje Pitagore (izmislio je termin koji je sebe nazvao: filozof, ili prijatelj mudrosti) i njegovih učenika dominiralo je kroz antiku, zatim se vratilo u renesansu (pod imenom panteizam), i mi smo zaista pod njegovim uticajem. Danas. Principi pitagorejstva su toliko ukorijenjeni u kulturi (barem u evropskoj kulturi) da nam je teško shvatiti da bismo mogli razmišljati drugačije. Ništa manje nismo iznenađeni od Molijerovog gospodina Jourdaina, koji je bio iznenađen kada je saznao da je cijeli život govorio u prozi.

Osnovna ideja pitagorejstva bila je vjerovanje da je svijet uređen po strogom planu i skladu, a da je čovjekov poziv da upozna taj sklad. A upravo razmišljanje o harmoniji svijeta čini učenje pitagorejstva. Pitagorejci su svakako bili i mistici i matematičari, iako ih je tek danas lako klasifikovati tako ležerno. Oni su utrli put. Započeli su istraživanje harmonije svijeta, prvo proučavajući muziku, astronomiju, aritmetiku itd.

Iako je čovječanstvo podleglo magiji "zauvijek", samo ju je pitagorejska škola uzdigla do opšte primjenjivog zakona. "Brojevi čine mir" – ovaj slogan je bio najbolja karakteristika škole. Brojevi su imali duše. Svaki je nešto značio, svaki je nešto simbolizirao, svaki je odražavao česticu ovog sklada Univerzuma, tj. prostor. Sama riječ znači "red, red" (čitaoci znaju da kozmetika zaglađuje lice i poboljšava ljepotu).

Različiti izvori daju različita značenja koja su pitagorejci davali svakom broju. Na ovaj ili onaj način, isti broj može simbolizirati nekoliko koncepata. Najvažnije su bile šest (savršen broj) I deset – zbir uzastopnih brojeva 1+2+3+4, sastavljen od drugih brojeva, čija se simbolika održala do danas.

Dakle, Pitagora je učio da su brojevi početak i izvor svega, da se - ako to izmislite - "miješaju" jedni s drugima, a mi samo vidimo rezultate onoga što rade. Stvoren, odnosno razvijen od strane Pitagore, misticizam brojeva danas nema „dobru štampu“, pa čak i ozbiljni autori ovde vide mešavinu „patosa i apsurda“ ili „nauke, misticizma i čistog preterivanja“. Teško je razumeti kako je poznati istoričar Aleksandar Kravčuk mogao da napiše da su Pitagora i njegovi učenici ispunili filozofiju vizijama, mitovima, praznoverjima - kao da ništa ne razume. Jer ovako izgleda samo sa stanovišta našeg XX veka. Pitagorejci se ništa nisu naprezali, svoje teorije su stvarali u potpunoj dobroj vjeri. Možda će neko za nekoliko vekova napisati da je i cela teorija relativnosti bila apsurdna, pretenciozna i nategnuta. I numerički simbolizam, koji nas je od Pitagore delio za četvrt miliona godina, duboko je prodro u kulturu i postao njen deo, baš kao i grčki i germanski mitovi, srednjovekovni viteški epovi, ruske narodne priče o Koscu ili vizija Juliusza Słowackog o slavenski papa.

Tajanstvena iracionalnost

Pitagorejci su bili zadivljeni geometrijom figurami-podobnymi. I upravo tokom analize Talesove teoreme, osnovnog zakona o pravilima sličnosti, dogodila se katastrofa. Otkriveni su nesamerljivi preseci, a samim tim i iracionalni brojevi. Epizode koje se ne mogu mjeriti nikakvim općim mjerama. Brojevi koji nisu proporcije. I otkriven je u jednom od najjednostavnijih oblika: kvadratu.

Danas u školskoj nauci ovu činjenicu zaobilazimo, gotovo da je ne primjećujemo. Da li je dijagonala kvadrata jednaka √2? Odlično, koliko bi to moglo biti? Pritisnemo dva dugmeta na kalkulatoru: 1,4142... Dobro, već znamo koliki je kvadratni koren od dva. Koji? Je li to iracionalno? To je vjerovatno zato što koristimo tako čudan znak, ali zapravo ovo je 1,4142. Na kraju krajeva, kalkulator ne laže.

Ako čitalac misli da preterujem, onda... veoma dobro. Očigledno, u poljskim školama nije tako loše kao, na primjer, u britanskim, gdje je sve o nemerljivost negde između bajki.

U poljskom, riječ "iracionalno" nije toliko strašna kao njen pandan u drugim evropskim jezicima. Racionalni brojevi postoje racionalni, racionalni, razionalni, tj.

Razmotrimo obrazloženje da √2 ovo je iracionalan broj, to jest, nije bilo koji razlomak p/q, gdje su p i q cijeli brojevi. Modernim jezikom to izgleda ovako... Pretpostavimo da je √2 = p/q i da se ovaj razlomak više ne može skratiti. Konkretno, i p i q su neparni. Postavimo na kvadrat: 2q²=p². Broj p ne može biti neparan, pošto je tada p² bi također bilo, a lijeva strana jednakosti je višekratnik 2. Dakle, p je paran, tj. p = 2r, dakle p²= 4r². Reduciramo jednačinu 2q²= 4r². dobijamo d²= 2r² i vidimo da q takođe mora biti paran, a pretpostavili smo da nije. Primljeno kontradikcija dokaz se završava - ovu formulu možete naći s vremena na vrijeme u svakoj knjizi matematike. Ovaj indirektni dokaz omiljena je tehnika sofista.

Želeo bih, međutim, da naglasim da je ovo moderno rezonovanje – Pitagorejci nisu imali tako razvijen algebarski aparat. Tražili su opštu meru stranice kvadrata i njegove dijagonale, što ih je dovelo do ideje da takva opšta mera ne može postojati. Pretpostavka o njegovom postojanju dovodi do kontradikcije. Čvrsto tlo mi je skliznulo ispod nogu. Sve se mora opisati brojevima, a dijagonala kvadrata, koju svako može nacrtati štapom u pijesku, nema dužinu (odnosno mjerljivu, jer nema drugih brojeva). „Naša vera je bila uzaludna“, izgleda da kažu pitagorejci. sta da radim?

Pokušavalo se pobjeći sektaškim metodama. Svako ko se usudi da otkrije postojanje iracionalnih brojeva biće osuđen na smrt, a, očigledno, sam gospodar - suprotno zapovesti krotosti - izvršava prvu rečenicu. Tada sve postaje zavjesa. Prema jednoj verziji, ubijeni su Pitagorejci (nekolicina je spašena i zahvaljujući njima cela ideja nije odneta u grob), po drugoj, sami učenici, tako poslušni, proteraju obožavanog učitelja i on negde završava svoj život u egzilu. Sekta prestaje da postoji.

Svi znamo citat Vinstona Čerčila: „Nikada u istoriji ljudskih sukoba toliki ljudi nisu dugovali toliko malom broju ljudi“. Radilo se o pilotima koji su 1940. branili Englesku od nemačkih aviona. Ako zamijenimo "ljudske sukobe" sa "ljudskim mislima", onda se izreka odnosi na šačicu Pitagorejaca koji su pobjegli (tako malo) od pogroma u kasnim XNUMX. VI vek pne.

Dakle, "misao je prošla neozlijeđena." Šta je sledeće? Zlatno doba dolazi. Grci pobeđuju Perzijance (Maraton - 490. pne, Plateže - 479.). Demokratija jača. Pojavljuju se novi centri filozofske misli i nove škole. Sljedbenici pitagorejstva suočeni su s problemom iracionalnih brojeva. Neki kažu: „Nećemo shvatiti ovu misteriju; možemo samo da ga kontempliramo i divimo se Unchartedu." Ovi drugi su pragmatičniji i ne poštuju Tajnu: „Ako nešto nije u redu sa ovim brojevima, ostavimo ih na miru, za otprilike 2500 godina sve će se saznati. Možda brojevi ne vladaju svijetom? Počnimo s geometrijom. Više nisu važni brojevi, već njihove proporcije i odnosi.”

Zagovornici prvog pravca poznati su istoričarima matematike kao akustika, Živjeli su još nekoliko stoljeća i to je to. Potonji su sami sebe prozvali matematike (od grčkog mathein = znati, naučiti). Ne moramo nikome objašnjavati da je upravo ovaj pristup pobijedio: živi dvadeset pet vijekova i napreduje.

Pobjeda matematičara nad ausmatičarima izražena je, posebno, u pojavi novog simbola Pitagorejaca: od sada je to bio pentagram (pentás = pet, gramma = slovo, natpis) - pravilan petougao u obliku slova zvijezda. Njegove grane se ukrštaju krajnje proporcionalno: celina se uvek odnosi na veći deo, a veći deo na manji deo. Zvao je božanska proporcija, zatim sekularizirano na zlato. Stari Grci (a nakon njih i cijeli eurocentrični svijet) vjerovali su da je ta proporcija najprijatnija ljudskom oku i nalazili su je gotovo posvuda.

(Cyprian Camille Norwid, “Prometidion”)

Završiću još jednim odlomkom, ovog puta iz pesme „Faust“ (prevod Wladyslawa Augusta Kostelskog). Pa, pentagram je takođe slika pet čula i čuvenog „čarobnjačkog stopala“. U Geteovoj pesmi doktor Faustus je želeo da se zaštiti od đavola slikajući ovaj simbol na pragu svoje kuće. Uradio je to opušteno i dogodilo se ovo:

Faust

M ephistopheles

Faust

A ovo je sve o uobičajenom pentagonu na početku nove školske godine.