Nova mašinska matematika? Elegantni uzorci i bespomoćnost

Prema nekim stručnjacima, mašine mogu da izmisle ili, ako hoćete, otkriju potpuno novu matematiku koju mi ​​ljudi nikada nismo videli niti na nju pomislili. Drugi tvrde da mašine ne izmišljaju ništa same, one samo mogu da predstave formule koje poznajemo na drugačiji način, i da se uopšte ne mogu nositi sa nekim matematičkim problemima.

Nedavno je predstavila grupa naučnika sa Instituta Technion u Izraelu i Google automatizovani sistem za generisanje teoremakoju su nazvali Ramanujan mašina po matematičaru Srinivasi Ramanujanakoji je razvio hiljade revolucionarnih formula u teoriji brojeva sa malo ili bez formalnog obrazovanja. Sistem koji su razvili istraživači pretvorio je brojne originalne i važne formule u univerzalne konstante koje se pojavljuju u matematici. Rad na ovu temu objavljen je u časopisu Nature.

Jedna od mašinski generisanih formula može se koristiti za izračunavanje vrednosti univerzalne konstante koja se zove Katalonski broj, efikasnije od korištenja ranije poznatih formula koje su otkrili ljudi. Međutim, naučnici to tvrde Ramanujanova mašina nije zamišljeno da ljudima oduzme matematiku, već da ponudi pomoć matematičarima. Međutim, to ne znači da je njihov sistem lišen ambicija. Kako pišu, Mašina "pokušava da oponaša matematičku intuiciju velikih matematičara i da daje nagoveštaje za dalja matematička istraživanja."

Sistem pravi pretpostavke o vrijednostima univerzalnih konstanti (kao što su) zapisane kao elegantne formule koje se nazivaju kontinuirani razlomci ili kontinuirani razlomci (1). Ovo je naziv metode izražavanja realnog broja kao razlomak u posebnom obliku ili granica takvih razlomaka. Kontinuirani razlomak može biti konačan ili imati beskonačno mnogo kvocijenata._i/b_i; frakcija A_k/B_k dobijen odbacivanjem parcijalnih razlomaka u kontinuiranom razlomku, počevši od (k + 1)-og, naziva se k-ti redukt i može se izračunati po formulama:_-1=1,A₀=b₀, B_-1=0,V₀=1, A_k=b_kA_k-1+a_kA_k-2, B_k=b_kB_k-1+a_kB_k-2; ako se niz redukcija konvergira na konačnu granicu, tada se kontinuirani razlomak naziva konvergentan, inače je divergentan; Kontinuirani razlomak se naziva aritmetički ako_i=1, b₀ završeno, b_i (i>0) – prirodno; aritmetički kontinuirani razlomak konvergira; svaki realan broj se proširuje u kontinuirani aritmetički razlomak, koji je konačan samo za racionalne brojeve.

1. Primjer pisanja Pi kao kontinuiranog razlomka

Ramanujan mašinski algoritam odabire sve univerzalne konstante za lijevu stranu i sve kontinuirane razlomke za desnu stranu, a zatim izračunava svaku stranu zasebno s određenom preciznošću. Ako se čini da se obje strane preklapaju, količine se izračunavaju preciznije kako bi se osiguralo da podudaranje nije podudaranje ili nepreciznost. Ono što je važno, već postoje formule koje vam omogućavaju da izračunate vrijednost univerzalnih konstanti, na primjer, s bilo kojom preciznošću, tako da je jedina prepreka u provjeri usklađenosti stranice vrijeme izračunavanja.

Prije implementacije takvih algoritama, matematičari su morali koristiti postojeći. matematičko znanje i teoremenapraviti takvu pretpostavku. Zahvaljujući automatskim nagađanjima generisanim od strane algoritama, matematičari ih mogu koristiti za rekreiranje skrivenih teorema ili "elegantnijih" rezultata.

Najznačajnije otkriće istraživača nije toliko nova saznanja koliko nova pretpostavka od iznenađujuće važnosti. Ovo dozvoljava izračunavanje katalonske konstante, univerzalna konstanta čija je vrijednost potrebna u mnogim matematičkim problemima. Izražavanje kao kontinuirani razlomak u novootkrivenoj pretpostavci omogućava najbrže proračune do sada, pobjeđujući ranije formule za koje je bilo potrebno više vremena za obradu u kompjuteru. Čini se da ovo označava novu tačku napretka za informatiku od kada su kompjuteri prvi put pobijedili šahiste.

Ono što AI ne može podnijeti

Algoritmi mašina Kao što vidite, neke stvari rade na inovativan i efikasan način. Suočeni s drugim problemima, oni su bespomoćni. Grupa istraživača sa Univerziteta Waterloo u Kanadi otkrila je klasu problema u korištenju mašinsko učenje. Otkriće je povezano s paradoksom koji je sredinom prošlog stoljeća opisao austrijski matematičar Kurt Gödel.

Matematičar Shai Ben-David i njegov tim predstavili su model mašinskog učenja pod nazivom maksimalno predviđanje (EMX) u publikaciji u časopisu Nature. Čini se da se jednostavan zadatak pokazao nemogućim za umjetnu inteligenciju. Problem koji predstavlja tim Shai Ben David svodi se na predviđanje najprofitabilnije reklamne kampanje, fokusirane na čitatelje koji najčešće posjećuju stranicu. Broj mogućnosti je toliki da neuronska mreža ne može pronaći funkciju koja će ispravno predvidjeti ponašanje korisnika web stranice, imajući na raspolaganju samo mali uzorak podataka.

Pokazalo se da su neki od problema koje postavljaju neuronske mreže ekvivalentni hipotezi kontinuuma koju je postavio Georg Cantor. Njemački matematičar je dokazao da je kardinalnost skupa prirodnih brojeva manja od kardinalnosti skupa realnih brojeva. Zatim je postavio pitanje na koje nije mogao odgovoriti. Naime, pitao se postoji li beskonačan skup čija je kardinalnost manja od kardinalnosti skup realnih brojevaali više snage skup prirodnih brojeva.

Austrijski matematičar iz XX veka. Kurt Gödel dokazao da je hipoteza kontinuuma neodlučiva u trenutnom matematičkom sistemu. Sada se ispostavilo da su se matematičari koji dizajniraju neuronske mreže suočili sa sličnim problemom.

Dakle, iako nam je nevidljiv, kao što vidimo, bespomoćan je pred fundamentalnim ograničenjima. Naučnici se pitaju da li sa problemima ove klase, kao što su beskonačni skupovi, na primer.