Zašto ne podijelimo sa nulom?

Čitaoci se mogu zapitati zašto posvećujem cijeli članak tako banalnoj temi? Razlog je zapanjujući broj studenata (!) koji ležerno izvode operaciju pod imenom. I ne samo studenti. Ponekad uhvatim i učitelje. Šta će učenici takvih nastavnika moći da rade iz matematike? Neposredan povod za pisanje ovog teksta bio je razgovor sa učiteljicom kojoj deljenje sa nulom nije predstavljalo problem...

Sa nulom, da, osim gnjavaže ama baš ničega, jer ga zapravo ne trebamo koristiti u svakodnevnom životu. Ne idemo u kupovinu bez jaja. “U sobi je jedna osoba” zvuči nekako prirodno, a “nula ljudi” zvuči umjetno. Lingvisti kažu da je nula izvan jezičkog sistema.

Možemo i bez nule na bankovnim računima: samo koristite - kao na termometru - crvenu i plavu za pozitivne i negativne vrijednosti (imajte na umu da je za temperaturu prirodno koristiti crvenu za pozitivne brojeve, a za bankovne račune to je obrnuto, jer bi zaduženje trebalo da izazove upozorenje, pa se crvena preporučuje).

Uključivanjem nule kao prirodnog broja dotičemo se problema diferencijacije kardinalni brojevi od domaćinstvo. Unutar 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, …..

snaga broja je ista kao i broj mjesta gdje se nalazi. Inače, već je u nizu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, …..

Na drugom mjestu je broj pojedinačnih skupova, na trećem je broj skupova sa dva elementa, itd. Moramo objasniti zašto, na primjer, ne numerišemo mjesta sportista na takmičenjima od nule. Tada bi prvoplasirani dobijao srebrnu medalju (zlato je pripalo nultoplasiranom) i tako dalje. Donekle sličan postupak je korišćen u fudbalu - ne znam da li čitaoci znaju da "liga jedan" znači " prati najbolje." “, a nulta liga je pozvana da postane “glavna liga”.

Ponekad čujemo argument da treba početi od nule, jer je to zgodno za IT ljude. Nastavljajući ova razmatranja, definiciju kilometra treba promijeniti - trebalo bi da bude 1024 m, jer je to broj bajtova u kilobajtu (pozvat ću se na vic poznat informatičarima: „Koja je razlika između brucoša i student informatike i student pete godine ovog fakulteta? da je kilobajt 1000 kilobajta, posljednji - da je kilometar 1024 metra")!

Druga tačka gledišta, koju već treba shvatiti ozbiljno, je ovo: uvijek mjerimo od nule! Dovoljno je pogledati bilo koju vagu na lenjiru, na kućnoj vagi, čak i na satu. Pošto mjerimo od nule, a brojanje se može shvatiti kao mjerenje bezdimenzionalnom jedinicom, onda treba računati od nule.

To je jednostavna stvar, ali...

Ostavimo opće rezonovanje i vratimo se dijeljenju sa nulom. Stvar je jednostavna i bilo bi jednostavno da nije...pa šta? Hajde da razmislimo i probamo. Koliko to može biti - jedan podijeljen sa nulom? Da vidimo: 1/0 = x. Pomnožite obje strane sa nazivnikom lijeve strane.

Dobijamo 1=0. Nešto nije u redu! Šta se desilo? Ah pogodi! Pretpostavka da postoji količnik jedinice i nule dovodi do kontradikcije. A ako se jedan ne može podijeliti sa nulom, onda može drugi broj. Ako, Čitaoče, slegneš ramenima i zapitaš se zašto autor (odnosno ja) piše o takvim floskulama, onda... baš mi je drago!

Formula 0/0 = 0 mogla bi se tvrdoglavo braniti, ali je u suprotnosti s pravilom da je rezultat dijeljenja broja sam po sebi jednak jedan. Apsolutno, ali sasvim drugačiji su simboli kao što su 0/0, °/° i slično u računici. Oni ne znače nikakav broj, već su simbolične oznake za određene nizove određenih tipova.

U jednoj knjizi o elektrotehnici pronašao sam zanimljivo poređenje: dijeljenje sa nulom jednako je opasno kao i struja visokog napona. Ovo je normalno: Ohmov zakon kaže da je odnos napona i otpora jednak struji: V = U / R. Da je otpor nula, teoretski beskonačna struja bi tekla kroz provodnik, sagorevajući sve moguće provodnike.

Jednom sam napisao pjesmu o opasnostima dijeljenja sa nulom za svaki dan u sedmici. Sjećam se da je najdramatičniji dan bio četvrtak, ali šteta za sav moj rad u ovoj oblasti.

Kada nešto podijelite sa nulom

Veoma rano u ponedeljak

Sedmica šta se upravo dogodilo

Već ste podbacili.

Kada je utorak popodne

Stavljate nulu u imenilac

Reći ću ti onda, grešiš

Loš matematičar!

Kada kroz nulu, kroz perverziju,

Želim da se rastanemo u sredu

Ući ćete u velike nevolje

Imaš sena i vode u glavi!

S nama je bio izvjesni Bartek.

Bio je u suprotnosti sa pravilima.

U četvrtak je djeljiv sa nulom.

On više nije među nama!

Ako te obuzme čudna želja

Podijelite sa nulom u petak

Biću iskren, biću iskren:

Loš početak ovog vikenda.

Kad je nula, negdje u subotu

Razdjelnik će biti vaš (ne podebljan)

Kleknite ispod crkvene ograde.

Ovo je tvoje uskrsnuće.

Hoćeš li nulu ispod crtice,

Napravite praznik u nedelju

Ponesite kredu, crnu tablu.

Napiši: nije deljivo sa nulom!

Nula je povezana sa prazninom i ništavilom. Zaista, on je došao do matematike kao veličine koja, kada se doda bilo kojoj, ne mijenja je: x + 0 = x. Ali sada se nula pojavljuje u nekoliko drugih vrijednosti, posebno kao početak skale. Ako izvan prozora nema ni pozitivne temperature ni mraza, onda ... ovo je nula, što ne znači da uopće nema temperature. Spomenik nulte klase nije onaj koji je dugo rušen i jednostavno ne postoji. Naprotiv, to je nešto kao Vavel, Ajfelov toranj i Kip slobode.

Pa, važnost nule u pozicijskom sistemu teško se može precijeniti. Znaš li, čitaoče, koliko nula ima Bill Gates na svom bankovnom računu? Ne znam, ali ja bih pola. Očigledno je Napoleon Bonaparte primijetio da su ljudi kao nule: oni stječu značenje kroz položaj. U filmu Andrzeja Wajde As the Years, As the Days Pass, strastveni umjetnik Jerzy eksplodira: "Philister je nula, nihil, ništa, ništa, nihil, nula." Ali nula može biti dobra: „nulto odstupanje od norme“ znači da sve ide dobro, i nastavite tako!

Vratimo se matematici. Nula se može nekažnjeno sabirati, oduzimati i množiti. „Ugojila sam se nula kilograma“, kaže Manya Anji. „A ovo je zanimljivo, jer sam isto smršala“, odgovara Anya. Pa hajde da jedemo šest nula porcija sladoleda šest puta, neće nam škoditi.

Ne možemo dijeliti nulom, ali možemo dijeliti nulom. Tanjir nula knedli lako se može podijeliti onima koji čekaju hranu. Koliko će svaki dobiti?

Nula nije pozitivna ili negativna. Ovo i broj nepozitivnaи nenegativan. Zadovoljava nejednakosti x≥0 i x≤0. Kontradikcija "nešto pozitivno" nije "nešto negativno", već "nešto negativno ili jednako nuli". Matematičari će, suprotno pravilima jezika, uvijek reći da je nešto "jednako nuli", a ne "nula". Da bismo opravdali ovu praksu, imamo: ako čitamo formulu x = 0 "x je nula", onda x = 1 čitamo "x je jednako jedan", što bi se moglo progutati, ali šta je sa "x = 1534267"? Također ne možete dodijeliti numeričku vrijednost znaku 0⁰niti podići nulu na negativan stepen. S druge strane, možete po volji root nula... i rezultat će uvijek biti nula. 

Eksponencijalna funkcija y = a^x, pozitivna baza a, nikada ne postaje nula. Iz toga slijedi da ne postoji nulti logaritam. Zaista, logaritam od a prema bazi b je eksponent na koji se baza mora podići da bi se dobio logaritam od a. Za a = 0, takav indikator ne postoji, a nula ne može biti osnova logaritma. Međutim, nula u "imeoniku" Newtonovog simbola je nešto drugo. Pretpostavljamo da ove konvencije ne dovode do kontradikcije.

lažni dokazi

Deljenje sa nulom je uobičajena tema za lažne dokaze, a dešava se čak i iskusnim matematičarima. Dozvolite mi da vam navedem dva moja omiljena primjera. Prvi je algebarski. Ja ću "dokazati" da su svi brojevi jednaki. Pretpostavimo da postoje dva broja koja nisu jednaka. Dakle, jedan od njih je veći od drugog, neka je a > b. Pretpostavimo da je c njihova razlika

c \uXNUMXd a - b. Dakle, imamo a - b = c, odakle je a = b + c.

Oba dijela potonjeg pomnožimo sa a - b:

a² – ab = ab + ac – b2 – bc.

Prevodim ak na lijevu stranu, naravno da se sjecam promjene znaka:

a² - ab - ac = ab - b2 - bc.

Isključujem uobičajene faktore:

A (a-b-c) \uXNUMXd b (a-b-c),

Dijelim i imam šta sam htio:

a = b.

I zapravo još čudnije, jer sam pretpostavio da je a > b, a dobio sam da je a = b. Ako je u gornjem primjeru "varanje" lako prepoznati, onda u geometrijskom dokazu ispod to nije tako lako. Dokazaću da ... trapez ne postoji. Figura koja se obično naziva trapez ne postoji.

Ali pretpostavimo prvo da postoji takva stvar kao što je trapez (ABCD na slici ispod). Ima dvije paralelne strane („baze“). Rastegnimo ove baze, kao što je prikazano na slici, tako da dobijemo paralelogram. Njegove dijagonale dijele drugu dijagonalu trapeza na segmente čije su dužine označene x, y, z, kao u slika 1. Iz sličnosti odgovarajućih trokuta dobijamo proporcije:

gdje definiramo:

Oraz

gdje definiramo:

Oduzmite stranice jednakosti označene zvjezdicama:

 Skraćivanjem obe strane za x − z, dobijamo – a/b = 1, što znači da je a + b = 0. Ali brojevi a, b su dužine osnova trapeza. Ako je njihov zbir jednak nuli, onda su i oni nula. To znači da figura poput trapeza ne može postojati! A pošto su pravokutnici, rombovi i kvadrati i trapezi, onda, dragi čitaoče, nema ni rombova, pravokutnika i kvadrata...

Guess Guess

Razmjena informacija je najzanimljivija i najizazovnija od četiri osnovne aktivnosti. Ovdje se po prvi put susrećemo sa fenomenom tako uobičajenim u odrasloj dobi: "pogodi odgovor, a zatim provjeri da li si pogodio". Ovo je vrlo prikladno izrazio Daniel K. Dennett (“Kako napraviti greške?”, u Kako je – Naučni vodič kroz svemir, CiS, Varšava, 1997):

Ova metoda „pogađanja“ ne ometa naš odrasli život – možda zato što je rano učimo i pogađanje nije teško. Ideološki, isti se fenomen javlja, na primjer, u matematičkoj (potpunoj) indukciji. Na istom mjestu „pogađamo“ formulu, a zatim provjeravamo da li je naša pretpostavka tačna. Učenici uvijek pitaju: „Kako smo znali obrazac? Kako se može izvaditi?" Kada mi studenti postave ovo pitanje, njihovo pitanje pretvorim u šalu: "Znam ovo jer sam profesionalac, jer sam plaćen da znam." Učenicima u školi se može odgovoriti u istom stilu, samo ozbiljnije.

Vježba. Imajte na umu da sabiranje i pisano množenje počinjemo s najnižom jedinicom, a dijeljenje s najvećom jedinicom.

Kombinacija dvije ideje

Nastavnici matematike su oduvijek isticali da je ono što nazivamo razdvajanjem odraslih spoj dvije konceptualno različite ideje: Stanovanje i razdvajanje.

Prvi (Stanovanje) javlja se u zadacima gdje je arhetip:

Podijeli-podijeli To su zadaci kao što su:

? (Zadržali smo originalni stil ovog problema, preuzet iz priručnika Juliana Zgozalewicza objavljenog u Krakovu 1892. godine - zlot je renski zlot, valuta koja je bila u opticaju u Austro-Ugarskoj do početka XNUMX. stoljeća).

Sada razmotrite dva problema sa najstariji udžbenik matematike na poljskom, otac Tomasz Clos (1538). Je li to divizija ili kupe? Riješite to na način na koji bi školarci u XNUMX vijeku trebali:

(Prevod sa poljskog na poljski: U buretu je kvart i četiri lonca. Lonac je četiri litre. Neko je kupio 20 buradi vina za 50 zl za trgovinu. Carina i porez (akciza?) će biti 8 zl. Koliko treba prodati kvart da zaradiš 8 zl?)

Sport, fizika, kongruencija

Ponekad u sportu morate nešto podijeliti sa nulom (omjer golova). Pa, sudije se nekako nose sa tim. Međutim, u apstraktnoj algebri oni su na dnevnom redu. veličine koje nisu nulačiji je kvadrat nula. To se čak može jednostavno objasniti.

Razmotrimo funkciju F koja povezuje tačku (y, 0) sa tačkom u ravni (x, y). Šta je F², odnosno dvostruko izvršenje F? Nulta funkcija - svaka tačka ima sliku (0,0).

Konačno, veličine različite od nule čiji je kvadrat 0 gotovo su svakodnevni kruh za fizičare, a brojevi oblika a + bε, gdje je ε ≠ 0, ali ε² = 0, zovu matematičari dvostruki brojevi. Javljaju se u matematičkoj analizi i u diferencijalnoj geometriji.

Uostalom, postoji nešto u aritmetici što ima dijeljenje nulom barem u nazivu. Dolazi iz kongruencija. Neka Z označava skup cijelih brojeva. Dijeljenje skupa Z sa p znači da svaki broj (cijeli broj) izjednačavamo s nekim drugim, odnosno s onima kojima je njihova razlika djeljiva. Dakle, kada imamo pet vrsta brojeva koji odgovaraju brojevima 0, 1, 2, 3, 4 - mogući ostaci kada se podijele sa 5. Formula je napisana ovako:

mod kada je razlika višestruka.

Za = 2 imamo samo dva broja: 0 i 1. Deljenje celih brojeva na dve takve klase je ekvivalentno podeli na parne i neparne. Zamenimo ga sada. Razlika je uvijek djeljiva sa 1 (bilo koji cijeli broj je djeljiv sa 1). Da li je moguće uzeti =0? Pokušajmo: kada je razlika dva broja višestruka od nule? Samo kada su ova dva broja jednaka. Dakle, dijeljenje skupa cijelih brojeva sa nulom ima smisla, ali nije zanimljivo: ništa se ne događa. Međutim, treba naglasiti da ovo nije podjela brojeva u smislu poznatom iz osnovne škole.

Takve radnje su jednostavno zabranjene, kao i duga i široka matematika.

Rice. 2. Identifikacija brojeva korištenjem poređenja

(način 5 i način 2)