Putovanje u nestvarni svijet matematike

Napisao sam ovaj članak u jednom od okruženja, nakon predavanja i vježbe na fakultetu informatike. Branim se od kritika na račun učenika ove škole, njihovog znanja, odnosa prema nauci i, što je najvažnije, njihove nastavne sposobnosti. Ovo... niko ih ne uči.

Zašto sam tako defanzivna? Iz jednostavnog razloga – ja sam u godinama kada, vjerovatno, svijet oko nas još nije shvaćen. Možda ih učim da uprežu i raspregnu konje, a ne da voze auto? Možda ih naučim da pišu perom? Iako imam bolje mišljenje o nekoj osobi, smatram da „pratim“, ali…

Do nedavno, u srednjoj školi, govorili su o kompleksnim brojevima. I baš ove srijede sam došao kući, dao otkaz - skoro niko od učenika još nije naučio šta je to i kako se koriste te brojke. Neki na svu matematiku gledaju kao na guska na ofarbanim vratima. Ali bio sam i iskreno iznenađen kada su mi rekli kako da učim. Jednostavno, svaki sat predavanja je dva sata domaće zadaće: čitanje udžbenika, učenje rješavanja zadataka na zadatu temu itd. Pripremivši se na ovaj način, dolazimo do vežbi, gde sve unapređujemo... Zadovoljno, studenti su, očigledno, pomislili da sedenje na predavanju - najčešće gledajući kroz prozor - već garantuje ulazak znanja u glavu.

Stani! Dosta ovoga. Opisaću svoj odgovor na pitanje koje sam dobio na času sa stipendistima iz Nacionalnog dečjeg fonda, institucije koja podržava talentovanu decu iz cele zemlje. Pitanje (ili bolje rečeno prijedlog) je bilo:

— Možete li nam reći nešto o nestvarnim brojevima?

„Naravno“, odgovorio sam. 

Realnost brojeva

“Prijatelj je drugo ja, prijateljstvo je odnos brojeva 220 i 284”, rekao je Pitagora. Ovdje se radi o tome da je zbir djelitelja broja 220 284, a zbir djelitelja broja 284 220:

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

Još jedna zanimljiva podudarnost između brojeva 220 i 284 je ova: sedamnaest najviših prostih brojeva su 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, i 59.

Njihov zbir je 2x220, a zbir kvadrata je 59x284.

Prvo. Ne postoji koncept "stvarnog broja". To je kao da nakon što pročitate članak o slonovima, pitate: "Sada ćemo pitati za ne-slonove." Postoje cjeline i necjeline, racionalne i iracionalne, ali ne postoje nestvarne. konkretno: brojevi koji nisu stvarni se ne nazivaju nevažećim. U matematici postoji mnogo tipova "brojeva" i oni se međusobno razlikuju, poput - da uzmemo zoološko poređenje - slona i gliste.

Drugo, izvršit ćemo operacije za koje možda već znate da su zabranjene: vađenje kvadratnih korijena negativnih brojeva. Pa, matematika će prevladati takve barijere. Ima li smisla? U matematici, kao iu svakoj drugoj nauci, hoće li teorija zauvijek ući u skladište znanja ovisi... od njene primjene. Ako je beskorisno, onda završi u smeću, pa u nekom smeću istorije znanja. Bez brojeva o kojima govorim na kraju ovog članka, nemoguće je razviti matematiku. Ali počnimo sa malim stvarima. Šta su stvarni brojevi, znate. Gusto i bez praznina popunjavaju brojevnu pravu. Znate i šta su prirodni brojevi: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, …….. - svi oni neće stati u pamćenje čak i najveće. Imaju i lijepo ime: prirodno. Imaju toliko zanimljivih svojstava. kako vam se sviđa ovo:

1 + 15 + 42 + 98 + 123 + 179 + 206 + 220 = 3 + 11 + 46 + 92 + 129 + 175 + 210 + 218

1² + 15² + 42² + 98² + 123² + 179² + 206² + 220² = 3² + 11² + 46² + 92² + 129² + 175² + 210² + 218²

1³ + 15³ + 42³ + 98³ + 123³ + 179³ + 206³ + 220³ = 3³ + 11³ + 46³ + 92³ + 129³ + 175³ + 210³ + 218³

1⁴ + 15⁴ + 42⁴ + 98⁴ + 123⁴ + 179⁴ + 206⁴ + 220⁴ = 3⁴ + 11⁴ + 46⁴ + 92⁴ + 129⁴ + 175⁴ + 210⁴ + 218⁴

1⁵ + 15⁵ + 42⁵ + 98⁵ + 123⁵ + 179⁵ + 206⁵ + 220⁵ = 3⁵ + 11⁵ + 46⁵ + 92⁵ + 129⁵ + 175⁵ + 210⁵ + 218⁵

1⁶ + 15⁶ + 42⁶ + 98³ + 123⁶ + 179⁶ + 206⁶ + 220⁶ = 3⁶ + 11⁶ + 46⁶ + 92⁶ + 129⁶ + 175⁶ + 210⁶ + 218⁶

1⁷ + 15⁷ + 42⁷ + 98³ + 123⁷ + 179⁷ + 206⁷ + 220⁷ = 3⁷ + 11⁷ + 46⁷ + 92⁷ + 129⁷ + 175⁷ + 210⁷ + 218⁷

„Prirodno je biti zainteresovan za prirodne brojeve“, rekao je Karl Lindenholm, a Leopold Kroneker (1823–1891) je to jezgrovito rekao: „Bog je stvorio prirodne brojeve – sve ostalo je delo čoveka!“ Razlomci (koje matematičari nazivaju racionalnim brojevima) takođe imaju neverovatna svojstva:

i u jednakosti:

možete, počevši od lijeve strane, trljati pluseve i zamijeniti ih znakovima množenja - i jednakost će ostati istinita:

I tako dalje.

Kao što znate, za razlomke a/b, gdje su a i b cijeli brojevi, a b ≠ 0, kažu racionalni broj. Ali samo na poljskom tako sebe zovu. Govore engleski, francuski, njemački i ruski. racionalni broj. Na engleskom: racionalni brojevi. Iracionalni brojevi to je iracionalno, iracionalno. Također govorimo poljski o iracionalnim teorijama, idejama i djelima - ovo je ludilo, imaginarno, neobjašnjivo. Kažu da se žene boje miševa – zar to nije tako iracionalno?

U stara vremena brojevi su imali dušu. Svaki je nešto značio, svaki je nešto simbolizirao, svaki je odražavao česticu tog sklada Univerzuma, odnosno na grčkom, Kosmosa. Sama riječ "kosmos" znači upravo "red, red". Najvažniji su bili šest (savršen broj) i deset, zbir uzastopnih brojeva 1+2+3+4, sastavljen od drugih brojeva čija je simbolika preživjela do danas. Dakle, Pitagora je učio da su brojevi početak i izvor svega, a samo otkriće iracionalni brojevi okrenuo pitagorejski pokret ka geometriji. Znamo obrazloženje iz škole

√2 je iracionalan broj

Jer pretpostavimo da postoji: i da se ovaj razlomak ne može smanjiti. Konkretno, i p i q su neparni. Kvadirajmo: 2q²=p². Broj p ne može biti neparan, pošto je tada p² bi također bilo, a lijeva strana jednakosti je višekratnik 2. Dakle, p je paran, tj. p = 2r, dakle p²= 4r². Reduciramo jednačinu 2q²= 4r² sa 2. Dobijamo q²= 2r² i vidimo da q takođe mora biti paran, što smo pretpostavili da nije tako. Dobivena kontradikcija dovršava dokaz - ova formula se često može naći u svakoj matematičkoj knjizi. Ovaj posredni dokaz je omiljeni trik sofista.

Pitagorejci nisu mogli razumjeti ovu neizmjernost. Sve se mora opisati brojevima, a dijagonala kvadrata, koju svako može povući štapom po pijesku, nema, odnosno mjerljivu, dužinu. „Naša vera je bila uzaludna“, izgleda da kažu pitagorejci. Kako to? To je nekako... iracionalno. Unija je pokušala da se spasi sektaškim metodama. Svako ko se usudi da otkrije svoje postojanje iracionalni brojevi, trebao biti kažnjen smrću, a, po svemu sudeći, prvu kaznu je izvršio sam gospodar.

Ali "misao je prošla neoštećena." Zlatno doba je stiglo. Grci su porazili Perzijance (Maraton 490, Blok 479). Ojačana je demokratija, nastali su novi centri filozofske misli i nove škole. Pitagorejci su se i dalje borili sa iracionalnim brojevima. Neki su propovijedali: nećemo shvatiti ovu misteriju; možemo samo da razmatramo i divimo se Unchartedu. Ovi drugi su bili pragmatičniji i nisu poštovali Misteriju. Tada su se pojavile dvije mentalne konstrukcije koje su omogućile razumijevanje iracionalnih brojeva. Činjenica da ih danas prilično dobro razumijemo pripada Eudoksu (XNUMX. st. pr. n. e.), a tek je krajem XNUMX. stoljeća njemački matematičar Richard Dedekind dao teoriji Eudoxusa pravi razvoj u skladu sa zahtjevima rigorozne matematička logika.

Masa figura ili mučenje

Možete li živjeti bez brojeva? Čak i kada bi to bio život... Morali bismo u prodavnicu da kupimo cipele sa štapom, kojem smo prethodno izmjerili dužinu stopala. „Ja bih jabuke, ah, evo je!” – prikazali bismo prodavce na pijaci. "Koliko je udaljeno od Modlina do Nowy Dwur Mazowiecki"? “Prilično blizu!”

Za mjerenje se koriste brojevi. Uz njihovu pomoć izražavamo i mnoge druge koncepte. Na primjer, razmjer karte pokazuje koliko se smanjila površina zemlje. Skala dva prema jedan, ili jednostavno 2, izražava činjenicu da je nešto udvostručeno. Recimo matematički: svakoj homogenosti odgovara broj – njena skala.

Zadatak. Napravili smo kserografsku kopiju, uvećavajući sliku nekoliko puta. Zatim je uvećani fragment ponovo uvećan b puta. Koja je opća skala povećanja? Odgovor: a × b pomnoženo sa b. Ove skale treba pomnožiti. Broj "minus jedan", -1, odgovara jednoj preciznosti koja je centrirana, odnosno rotirana za 180 stepeni. Koji broj odgovara okretu od 90 stepeni? Ne postoji takav broj. Jeste, jeste… ili bolje rečeno, biće uskoro. Jeste li spremni za moralnu torturu? Uzmite hrabrost i uzmite kvadratni korijen od minus jedan. Slušam? Šta ne možeš? Uostalom, rekao sam ti da budeš hrabar. Izvucite ga! Hej, dobro, vuci, vuci... Ja ću pomoći... Evo: -1 Sad kad ga imamo, hajde da probamo da ga iskoristimo... Naravno, sada možemo izvući korijene svih negativnih brojeva, za primjer .:

√-4 = 2√-1, √-16 = 4√-1

“Bez obzira na psihičke bolove koje to podrazumijeva.” Ovo je ono što je Girolamo Cardano napisao 1539. godine, pokušavajući da prevaziđe mentalne poteškoće povezane sa - kako se ubrzo počelo zvati - imaginarne količine. Smatrao je ove...

...Zadatak. Podijelite 10 na dva dijela, čiji je proizvod 40. Sjećam se da je iz prethodne epizode napisao nešto ovako: Svakako nemoguće. Međutim, učinimo ovo: podijelimo 10 na dva jednaka dijela, svaki jednak 5. Pomnožite ih - ispalo je 25. Od rezultirajućih 25, sada oduzmite 40, ako želite, i dobit ćete -15. Sada pogledajte: √-15 dodano i oduzeto od 5 daje proizvod 40. Ovo su brojevi 5-√-15 i 5 + √-15. Provjeru rezultata Cardano je izvršio na sljedeći način:

„Bez obzira na bol u srcu, pomnožite 5 + √-15 sa 5-√-15. Dobijamo 25 - (-15), što je jednako 25 + 15. Dakle, proizvod je 40 .... Zaista je teško."

Pa, koliko je: (1 + √-1) (1-√-1)? Hajde da se množimo. Zapamtite da je √-1 × √-1 = -1. Odlično. Sada teži zadatak: od a + b√-1 do ab√-1. Šta se desilo? Svakako, ovako: (a + b√-1) (ab√-1) = a²+b²

Šta je tu zanimljivo? Na primjer, činjenica da možemo faktorizirati izraze koje "prije nismo znali". Skraćena formula za množenje za²-b² Sjećate li se formule za²+b² nije, jer nije moglo biti. U domenu realnih brojeva, polinom²+b² to je neizbežno. Označimo "naš" kvadratni korijen od "minus jedan" slovom i.²= -1. To je "nestvaran" prost broj. I to je ono što opisuje okretanje aviona za 90 stepeni. Zašto? Nakon svega,²= -1, a kombinovanje jedne rotacije od 90 stepeni i druge rotacije od 180 stepeni daje rotaciju od 45 stepeni. Koja vrsta rotacije je opisana? Očigledno zaokret od XNUMX stepeni. Šta znači -i? Malo je komplikovanije:

(-ja)² = -i × (-i) = +i² = -1

Dakle -i takođe opisuje rotaciju od 90 stepeni, samo u suprotnom smeru od rotacije i. Koji je levi, a koji desni? Morate zakazati termin. Pretpostavljamo da broj i određuje rotaciju u smjeru koji matematičari smatraju pozitivnim: suprotno od kazaljke na satu. Broj -i opisuje rotaciju u smjeru kretanja pokazivača.

Ali da li brojevi poput i i -i postoje? Are! Upravo smo ih oživjeli. Slušam? Da postoje samo u našoj glavi? Pa šta očekivati? Svi ostali brojevi takođe postoje samo u našem umu. Moramo vidjeti da li je broj novorođenčadi opstao. Tačnije, da li je dizajn logičan i da li će za nešto biti od koristi. Vjerujte mi na riječ da je sve u redu i da su ovi novi brojevi zaista od pomoći. Brojevi poput 3+i, 5-7i, općenito: a+bi nazivaju se kompleksnim brojevima. Pokazao sam vam kako ih možete dobiti okretanjem aviona. Mogu se uneti na različite načine: kao tačke u ravni, kao neki polinomi, kao neka vrsta numeričkih nizova... i svaki put su isti: jednačina x² +1=0 nema elementa... hokus pokus je već tu!!!! Radujmo se i radujmo se!!!

Kraj turneje

Ovim je završena naša prva turneja po zemlji lažnih brojeva. Od ostalih nezemaljskih brojeva navešću i one koji imaju beskonačan broj cifara ispred, a ne iza (zovu se 10-adicni, za nas su važniji p-adicni, gdje je p prost broj), jer primjer X = … … … 96109004106619977392256259918212890625

Izbrojimo X molim². As? Šta ako izračunamo kvadrat broja iza kojeg slijedi beskonačan broj cifara? Pa, hajde da uradimo isto. Znamo da je x² = H.

Nađimo još jedan takav broj sa beskonačnim brojem cifara ispred koji zadovoljava jednačinu. Savjet: kvadrat broja koji se završava na šest također se završava na šest. Kvadrat broja koji se završava na 76 također se završava na 76. Kvadrat broja koji se završava na 376 također završava na 376. Kvadrat broja koji se završava na 9376 također završava na 9376. Kvadrat broja koji se završava na XNUMX na… Postoje i brojevi koji su toliko mali da, budući da su pozitivni, ostaju manji od bilo kojeg drugog pozitivnog broja. Toliko su male da ih je ponekad dovoljno kvadrirati da dobijemo nulu. Postoje brojevi koji ne zadovoljavaju uslov a × b = b × a. Postoje i beskonačni brojevi. Koliko prirodnih brojeva ima? Beskonačno mnogo? Da, ali koliko? Kako se to može izraziti kao broj? Odgovor: najmanji od beskonačnih brojeva; označeno je lijepim slovom: A i dopunjeno nultim indeksom A₀ , aleph-nula.

Postoje i brojevi za koje ne znamo da postoje... ili za koje možete vjerovati ili ne vjerovati kako hoćete. A kad govorimo o sličnom: nadam se da vam se i dalje sviđaju Nestvarni brojevi, brojevi fantazijskih vrsta.