Članak ni o čemu

Kao dete me je fascinirala priča, verovatno poznata mnogim čitaocima, o „supi na noktu“. Moja baka (XNUMX. vek rođenja) mi je to rekla u verziji „Došao je Kozak i tražio vodu, jer ima nokat i kuvaće supu na njemu“. Znatiželjna domaćica mu je dala lonac vode… i znamo šta je bilo dalje: „supa neka bude slana, daitye, baba, so“, pa je oprao meso „da poboljša ukus“ i tako dalje. Na kraju je bacio "skuvani" ekser.

Dakle, ovaj članak je trebao biti o praznini svemira - a radi se o slijetanju evropskog aparata na kometu 67P / Churyumov-Gerasimenko 12. novembra 2014. Ali dok sam pisao, podlegao sam dugogodišnjoj navici, I dalje sam matematičar. Kako je sa Sviđa mi seс Zero matematika?

Kako Ništa ne postoji?

Ne može se reći da Ništa ne postoji. Postoji barem kao filozofski, matematički, religiozni i savršeno kolokvijalni koncept. Nula je običan broj, nula stepeni na termometru je takođe temperatura, a nulti saldo u banci je neprijatna, ali uobičajena pojava. Imajte na umu da u hronologiji nema nulte godine, a to je zato što je nula uvedena u matematiku tek u kasnom srednjem vijeku, kasnije od hronologije koju je predložio monah Dionisije (XNUMX. vek).

Začudo, zaista bismo mogli bez ove nule, a samim tim i bez negativnih brojeva. U jednom od udžbenika iz logike pronašao sam vježbu: nacrtaj ili reci kako zamišljaš odsustvo ribe. Neverovatno, zar ne? Svako može nacrtati ribu, ali ne jednu?

Sada ukratko osnovni kurs matematike. Davanje privilegije postojanja praznom skupu označenom precrtanim krugom ∅ neophodna je procedura analogna dodavanju nule skupu brojeva. Prazan skup je jedini skup koji ne sadrži nijedan element. Ovakve kolekcije:

Ali ne postoje dva različita prazna skupa. Prazan set je uključen u svaki drugi set:

Zaista, pravila matematičke logike kažu da je skup A sadržan u skupu B ako i samo ako rečenica:

to podrazumeva

U slučaju praznog skupa ∅, propozicija je uvijek lažna, pa je stoga, prema zakonima logike, implikacija općenito tačna. Sve proizlazi iz laži („ovdje ću uzgajati kaktus ako pređeš u sljedeći razred...”). Dakle, pošto je prazan skup sadržan u svakom drugom, onda da su dva različita, svaki od njih bi bio sadržan u drugom. Međutim, ako su dva skupa sadržana jedan u drugom, oni su jednaki. Zato: postoji samo jedan prazan set!

Postulat o postojanju praznog skupa nije u suprotnosti ni sa kakvim zakonima matematike, pa zašto ga ne oživjeti? Filozofski princip tzvOccamov brijač» Naredba da se isključe nepotrebni pojmovi, ali taman koncept praznog skupa je vrlo koristan u matematici. Imajte na umu da prazan skup ima dimenziju -1 (minus jedan) - nuldimenzionalni elementi su tačke i njihovi rijetki sistemi, jednodimenzionalni elementi su linije, a o vrlo složenim matematičkim elementima sa fraktalnom dimenzijom smo govorili u poglavlju o fraktalima .

Zanimljivo je da se cijela građevina matematike: brojevi, brojevi, funkcije, operatori, integrali, diferencijali, jednačine... mogu izvesti iz jednog pojma - praznog skupa! Dovoljno je pretpostaviti da postoji prazan skup, novostvoreni elementi se mogu kombinovati u skupove kako bi se izgradi svu matematiku. Ovako je njemački logičar Gottlob Frege izgradio prirodne brojeve. Nula je klasa skupova čiji su elementi u međusobnoj korespondenciji sa elementima praznog skupa. Jedan je klasa skupova čiji su elementi u međusobnoj korespondenciji sa elementima skupa čiji je jedini element prazan skup. Dva je klasa skupova čiji su elementi jedan prema jedan sa elementima skupa koji se sastoji od praznog skupa i skupa čiji je jedini element prazan skup... i tako dalje. Na prvi pogled ovo izgleda kao nešto veoma komplikovano, ali u stvari nije.

Plavo se širi po meni

mirisala na vrijesak i mirisala na mentu...

Wojciech Mlynarski, Žetvena djevojka

Teško je to zamisliti

Ništa nije teško zamisliti. U priči Stanisława Lema "Kako je svijet spašen", dizajner Trurl je napravio mašinu koja bi radila sve počevši od slova. Kada je Klapaucius naredio da se izgradi Nic, mašina je počela da uklanja razne objekte iz svijeta - s krajnjim ciljem da ukloni sve. Dok je uplašeni Klapaucius zaustavio kola, galije, tise, vješalice, hakovi, rime, mljevenja, pufovi, mlinci, ražnjići, filidroni i mrazevi su zauvijek nestali sa svijeta. I zaista, nestali su zauvek...

Józef Tischner je vrlo dobro pisao o ništavilu u svojoj Istoriji planinske filozofije. Na svom poslednjem odmoru odlučio sam da doživim ovo ništavilo, naime, otišao sam na tresetište između Nowy Targa i Jabłonke u Podhalu. Ovo područje se čak naziva i Pustachia. Ideš, ideš, ali put se ne smanjuje – naravno, u našim skromnim, poljskim razmjerima. Jednog dana sam otišao autobusom u kanadsku provinciju Saskačevan. Vani je bilo polje kukuruza. Odspavao sam pola sata. Kad sam se probudio, vozili smo se kroz isto polje kukuruza... Ali čekaj, je li ovo prazno? U izvesnom smislu, odsustvo promene je samo praznina.

Navikli smo na stalnu prisutnost raznih predmeta oko nas, i od Nešto ne možeš pobjeći čak ni zatvorenih očiju. „Mislim, dakle jesam“, rekao je Descartes. Ako sam već nešto mislio, onda postojim, što znači da postoji barem nešto na svijetu (naime, ja). Da li postoji ono što sam mislio? O tome se može diskutovati, ali u modernoj kvantnoj mehanici poznat je Hajzenbergov princip: svako opažanje remeti stanje posmatranog objekta. Dok to ne vidimo Nic ne postoji, a kada počnemo da tražimo, objekat prestaje da postoji Sviđa mi se i postaje Nešto. Postaje apsurdno antropski princip: nema smisla pitati se kakav bi svijet bio da nas nema. Svijet je onakav kakav nam se čini. Možda će druga bića Zemlju vidjeti kao ugaonu?

Pozitron (takav pozitivan elektron) je rupa u svemiru, "nema elektrona". U procesu anihilacije, elektron skoči u ovu rupu i „ništa se ne dešava“ – nema rupe, nema elektrona. Preskočiću dosta viceva o rupama u švajcarskom siru („što više imam, manje je...”). Čuveni kompozitor Džon Kejdž već je do te mere iskoristio svoje ideje da je komponovao (?) muzičko delo (?) u kome orkestar sedi nepomično 4 minuta 33 sekunde i, naravno, ne svira ništa. „Četiri minuta i trideset i tri sekunde su dve stotine sedamdeset tri, 273, a minus 273 stepena je apsolutna nula, na kojoj se zaustavlja svako kretanje“, objasnio je kompozitor (?).

Filtriraj na nulu, ništa, nick, nick, ništa, nula!

Jerzy u filmu Andrzeja Wajde Tokom godina,

dani prolaze"

Kako je sa svima?

Mnogi ljudi (od jednostavnih farmera do istaknutih filozofa) pitali su se o fenomenu postojanja. U matematici je situacija jednostavna: postoji nešto što je konzistentno.

Nestala je u rubnim poljima

U kukuriku, korovu i lavljim ustima...

Pa, ovakve stvari se dešavaju

Naročito u žetvi, iu toku berbe

posebno…

Wojciech Mlynarski, Žetvena djevojka

Sve je na drugoj krajnosti Ništa. U matematici to znamo Sve ne postoji. Samo previše netačna ideja da bi njegovo postojanje bilo bez kontroverzi. To se može razumjeti na primjeru starog paradoksa: "Ako je Bog svemoćan, onda stvorite kamen da ga pokupite?" Matematički dokaz da ne mogu postojati skupovi svih skupova zasniva se na teoremi pjevač Bershtein, koji kaže da je "beskonačan broj" (matematički: kvantitativni broj) skup svih članova datog skupa je veći od broja elemenata ovog skupa.

Ako skup ima elemente, onda ima 2ⁿ podskupovi; na primjer, kada je = 3 i skup se sastoji od {1, 2, 3} tada postoje sljedeći podskupovi:

• tri skupa od dva elementa: svakom od njih nedostaje jedan od brojeva 1, 2, 3,
• jedan prazan set,
• tri jednoelementna seta,
• cijeli set {1,2,3}

– samo osam, 2³A čitatelji koji su nedavno završili školu, želio bih podsjetiti na odgovarajuću formulu:

Svaki od Njutnovih simbola u ovoj formuli određuje broj skupova k-elemenata u skupu -elemenata.

U matematici se binomni koeficijenti pojavljuju na mnogim drugim mjestima, kao na primjer u zanimljivim formulama za smanjeno množenje:

a iz njihovog tačnog oblika, njihova međuzavisnost je mnogo interesantnija.

Teško je shvatiti šta – što se logike i matematike tiče – jeste, a šta Sve nije. Argumenti za nepostojanje Isto kao i Winnie the Pooh, koji je ljubazno pitao svog gosta, Tigra, da li tigrovi uopće vole med, žir i čičak? “Tigrovi vole sve”, odgovorio je onaj iz kojeg je Kubus zaključio da ako im se sve sviđa, onda vole i da spavaju na podu, pa se on, Vini, može vratiti u krevet.

Još jedan argument Raselov paradoks. U gradu postoji berberin koji brije sve muškarce koji se ne briju sami. Da li se brije sam? Oba odgovora su u suprotnosti sa postavljenim uslovom da ubijaju one, i to samo one, koji to sami ne urade.

Tražim kolekciju svih kolekcija

U zaključku ću dati pametan, ali najviše matematički dokaz da ne postoji skup svih skupova (da se ne brka s njim).

Prvo ćemo pokazati da je za bilo koji neprazan skup X nemoguće pronaći međusobno jedinstvenu funkciju koja preslikava ovaj skup u skup njegovih podskupova P(X). Dakle, pretpostavimo da ova funkcija postoji. Označimo ga tradicionalnim f. Šta je f od x? Ovo je kolekcija. Da li xf pripada x? Ovo je nepoznato. Ili moraš ili ne moraš. Ali za neki x mora biti takav da ne pripada f od x. Pa, onda razmotrimo skup svih x za koji x ne pripada f(x). Označimo ga (ovaj skup) sa A. Odgovara nekom elementu a skupa X. Da li a pripada A? Pretpostavimo da bi trebalo. Ali A je skup koji sadrži samo one elemente od x koji ne pripadaju f(x)... Pa, možda ne pripada A? Ali skup A sadrži sve elemente ovog svojstva, a time i A. Kraj dokaza.

Prema tome, kada bi postojao skup svih skupova, on bi bio sam podskup, što je nemoguće prema prethodnom rezonovanju.

Uf, mislim da mnogi čitaoci nisu vidjeli ovaj dokaz. Umesto toga, izneo sam to da pokažem šta su matematičari morali da urade na kraju devetnaestog veka, kada su počeli da proučavaju osnove sopstvene nauke. Ispostavilo se da problemi leže tamo gdje ih niko nije očekivao. Štaviše, za čitavu matematiku ova razmišljanja o bazama nisu bitna: ma šta se dešavalo u podrumima - čitava zgrada matematike stoji na čvrstom kamenu.

U međuvremenu, na vrhu...

Još jedan moral bilježimo iz priča Stanislava Lema. Na jednom od svojih putovanja, Iyon Tichi je stigao do planete čiji su stanovnici, nakon duge evolucije, konačno dostigli najviši stupanj razvoja. Svi su jaki, mogu sve, imaju sve na dohvat ruke... i ne rade ništa. Legnu na pijesak i sipaju ga među prste. "Ako je sve moguće, ne vredi", objašnjavaju šokiranom Ijonu. Da se ovo ne desi našoj evropskoj civilizaciji...