PA KOME, odnosno: PROBAJ GDJE MOŽEŠ - 2. dio

U prethodnoj epizodi bavili smo se Sudokuom, aritmetičkom igrom u kojoj su brojevi u osnovi raspoređeni u različite dijagrame prema određenim pravilima. Najčešća varijanta je šahovnica 9×9, dodatno podijeljena na devet ćelija 3×3. Na njemu se moraju postaviti brojevi od 1 do 9 tako da se ne ponavljaju ni u okomitom redu (matematičari kažu: u koloni) ili u horizontalnom redu (matematičari kažu: u redu) - i, osim toga, tako da ne ponavljaju. ponovite unutar bilo kojeg manjeg kvadrata.

Na sl. 1 ovu slagalicu vidimo u jednostavnijoj verziji, a to je kvadrat 6 × 6 podijeljen na pravokutnike 2 × 3. U nju ubacujemo brojeve 1, 2, 3, 4, 5, 6 - tako da se ne ponavljaju okomito, niti horizontalno, niti u svakom od odabranih šesterokuta.

Pokušajmo prikazano u gornjem kvadratu. Možete li ga popuniti brojevima od 1 do 6 prema pravilima postavljenim za ovu igru? Moguće je - ali dvosmisleno. Da vidimo - nacrtajte kvadrat s lijeve strane ili kvadrat s desne strane.

Možemo reći da to nije osnova za slagalicu. Obično pretpostavljamo da zagonetka ima jedno rješenje. Zadatak pronalaženja različitih baza za "veliki" Sudoku, 9x9, težak je zadatak i nema šanse da se u potpunosti riješi.

Druga važna veza je kontradiktorni sistem. Donji srednji kvadrat (onaj sa brojem 2 u donjem desnom uglu) se ne može popuniti. Zašto?

Zabava i odmori

Igramo dalje. Koristimo dječiju intuiciju. Vjeruju da je zabava uvod u učenje. Idemo u svemir. uključeno sl. 2 svi vide mrežu tetraedarod loptica, na primjer, ping-pong loptica? Prisjetite se školskih lekcija geometrije. Boje na lijevoj strani slike objašnjavaju za šta je zalijepljen prilikom sklapanja bloka. Konkretno, tri ugaone (crvene) lopte će biti zalijepljene u jednu. Stoga, oni moraju biti isti broj. Možda 9. Zašto? A zašto ne?

Oh, nisam to izrazio zadaci. Zvuči otprilike ovako: da li je moguće upisati brojeve od 0 do 9 u vidljivu mrežu tako da svako lice sadrži sve brojeve? Zadatak nije težak, ali koliko treba da zamislite! Neću pokvariti zadovoljstvo čitaocima i neću dati rješenje.

Ovo je vrlo lijep i potcijenjen oblik. pravilan oktaedar, izgrađen od dvije piramide (=piramide) sa kvadratnom osnovom. Kao što ime govori, oktaedar ima osam lica.

U oktaedru postoji šest vrhova. To je u suprotnosti kockakoji ima šest lica i osam vrhova. Rubovi obje grudve su isti - po dvanaest. Ovo duple čvrste materije - to znači da spajanjem centara strana kocke dobijamo oktaedar, a središta strana oktaedra će nam dati kocku. Obje ove kvrge rade ("jer moraju") Ojlerova formula: Zbir broja vrhova i broja lica je 2 veći od broja ivica.

3. Pravilan oktaedar u paralelnoj projekciji i oktaedarska rešetka sastavljena od sfera na način da svaka ivica ima četiri sfere.

Zadatak 1. Prvo, zapišite posljednju rečenicu prethodnog pasusa koristeći matematičku formulu. Na sl. 3 vidite oktaedarsku mrežu, takođe sačinjenu od sfera. Svaka ivica ima četiri lopte. Svako lice je trougao od deset sfera. Problem se postavlja samostalno: da li je moguće u krugove mreže staviti brojeve od 0 do 9 tako da nakon lijepljenja čvrstog tijela svaki zid sadrži sve brojeve (iz toga slijedi bez ponavljanja). Kao i ranije, najveća poteškoća u ovom zadatku je kako se mreža pretvara u čvrsto tijelo. Ne mogu to pismeno objasniti, pa ni ovdje ne iznosim rješenje.

4. Dva ikosaedra od ping-pong loptica. Obratite pažnju na različitu shemu boja.

već Plato (a živeo je u XNUMX.-XNUMX. veku pre nove ere) poznavao sve pravilne poliedre: tetraedar, kocku, oktaedar, dodekahedron i ikosahedron. Neverovatno je kako je stigao tamo - bez olovke, bez papira, bez olovke, bez knjiga, bez pametnog telefona, bez interneta! Neću ovdje govoriti o dodekaedru. Ali ikosaedarski sudoku je zanimljiv. Vidimo ovu kvržicu ilustracija 4i njegovu mrežu sl. 5.

5. Pravilna mreža ikosaedra.

Kao i do sada, ovo nije mreža u smislu u kom pamtimo (?!) iz škole, već način lijepljenja trouglova od loptica (loptica).

Zadatak 2. Koliko je kuglica potrebno da se napravi takav ikosaedar? Ostaje li sljedeće rezonovanje ispravno: pošto je svako lice trougao, ako treba da ima 20 lica, onda je potrebno čak 60 sfera?

6. Mreža ikosaedra iz sfera. Svaki krug je, na primjer, ping-pong loptica, ali se konstrukcija krugova na krugovima označenim istom bojom spaja u jedan. Dakle, imamo dvanaest sfera (= dvanaest vrhova: crvena, plava, ljubičasta, plava i osam žuta).

Lako je vidjeti da tri broja u ikosaedru nisu dovoljna. Tačnije: nemoguće je nabrojati vrhove sa brojevima 1, 2, 3 tako da svako (trouglasto) lice ima ova tri broja i da nema ponavljanja. Da li je moguće sa četiri broja? Da, moguće je! Hajde da pogledamo Rice. 6 i 7.

7. Evo kako numerirati sfere koje čine ikosaedar tako da svako lice sadrži brojeve koji nisu 1, 2, 3, 4. Koje od tijela na sl. 4 je ovako obojen?

Zadatak 3. Tri od četiri broja mogu se izabrati na četiri načina: 123, 124, 134, 234. Pronađite pet takvih trouglova u ikosaedru na sl. 7 (kao i od ilustracije 4).

4 posao (zahteva vrlo dobru prostornu maštu). Ikosaedar ima dvanaest vrhova, što znači da se može zalijepiti od dvanaest kuglica (sl. 7). Imajte na umu da postoje tri vrha (=loptice) označena sa 1, tri sa 2 i tako dalje. Dakle, kuglice iste boje formiraju trokut. Šta je ovaj trougao? Možda jednakostraničan? Pogledaj ponovo ilustracije 4.

Sljedeći zadatak za djeda/baku i unuka/unuku. I roditelji se konačno mogu okušati, ali im je potrebno strpljenje i vrijeme.

Zadatak 5. Kupite dvanaest (najbolje 24) ping-pong loptice, četiri boje farbe, četkicu i pravi ljepilo - ne preporučujem brze poput Superglue ili Droplet jer se prebrzo suše i opasne su za djecu. Zalijepite ikosaedar. Obucite svoju unuku u majicu koju ćete odmah nakon toga oprati (ili baciti). Pokrijte sto folijom (najbolje novinama). Pažljivo obojite ikosaedar sa četiri boje 1, 2, 3, 4, kao što je prikazano na sl. sl. 7. Možete promijeniti redoslijed - prvo obojite balone, a zatim ih zalijepite. U isto vrijeme, sitni krugovi moraju ostati neobojeni kako se boja ne bi zalijepila za boju.

Sada je najteži zadatak (tačnije, cijeli njihov niz).

6 posao (Tačnije, opća tema). Nacrtajte ikosaedar kao tetraedar i oktaedar Rice. 2 i 3 To znači da na svakoj ivici treba da budu četiri loptice. U ovoj varijanti zadatak je i dugotrajan, pa čak i skup. Počnimo tako što ćemo saznati koliko loptica vam treba. Svako lice ima deset sfera, tako da ikosaedru treba dve stotine? Ne! Moramo zapamtiti da se mnoge lopte dijele. Koliko ivica ima ikosaedar? Može se mukotrpno izračunati, ali čemu služi Ojlerova formula?

w–k+s=2

gdje su w, k, s broj vrhova, ivica i lica, redom. Setimo se da je w = 12, s = 20, što znači k = 30. Imamo 30 ivica ikosaedra. Možete to učiniti drugačije, jer ako ima 20 trouglova, onda oni imaju samo 60 ivica, ali su dva zajednička.

Hajde da izračunamo koliko loptica vam treba. U svakom trouglu postoji samo jedna unutrašnja lopta - ni na vrhu našeg tela, ni na ivici. Dakle, imamo ukupno 20 takvih loptica. Ima 12 vrhova. Svaka ivica ima dvije kuglice koje nisu temena (one su unutar ivice, ali ne i unutar lica). Pošto ima 30 ivica, ima 60 klikera, ali dva su zajednička, što znači da vam treba samo 30 klikera, tako da vam treba ukupno 20 + 12 + 30 = 62 klikera. Lopte se mogu kupiti za najmanje 50 penija (obično skuplje). Ako dodate cijenu ljepila, ispast će ... puno. Za dobro spajanje potrebno je nekoliko sati mukotrpnog rada. Zajedno su pogodni za opuštajuću zabavu - preporučujem ih umjesto, na primjer, gledanja televizije.

Povlačenje 1. U filmskom serijalu Andrzeja Wajde „Godine, dani“ dvojica muškaraca igraju šah „jer moraju nekako da prođu do večere“. Održava se u galicijskom Krakovu. Zaista: novine su već pročitane (tada su imale 4 stranice), TV i telefon još nisu izmišljeni, nema fudbalskih utakmica. Dosada u lokvama. U takvoj situaciji ljudi su sami sebi smislili zabavu. Danas ih imamo nakon pritiska na daljinski...

Povlačenje 2. Na sastanku Udruženja nastavnika matematike 2019. godine, španski profesor je demonstrirao kompjuterski program koji može da farba čvrste zidove u bilo koju boju. Bilo je malo jezivo, jer su samo nacrtali ruke, skoro odsjekli tijelo. Pomislio sam u sebi: koliko zabave možete dobiti od takvog "senčenja"? Sve traje dva minuta, a do četvrtog se ne sjećamo ničega. U međuvremenu, staromodni "šiveni rad" smiruje i obrazuje. Ko ne veruje neka proba.

Vratimo se u XNUMX vek i u našu stvarnost. Ako ne želimo opuštanje u vidu mukotrpnog lijepljenja kuglica, onda ćemo nacrtati barem mrežu ikosaedra na čijim rubovima se nalaze četiri kuglice. Kako uraditi? Isjeci ga ispravno sl. 6. Pažljivi čitalac već pogađa problem:

Zadatak 7. Da li je moguće nabrojati kuglice brojevima od 0 do 9 tako da se svi ovi brojevi pojavljuju na svakoj strani takvog ikosaedra?

Za šta smo plaćeni?

Danas se često postavljamo pitanje svrhe naših aktivnosti, a "sivi porezni obveznik" će se zapitati zašto bi plaćao matematičarima da rješavaju ovakve zagonetke?

Odgovor je prilično jednostavan. Takve "zagonetke", zanimljive same po sebi, su "fragment nečeg ozbiljnijeg". Uostalom, vojne parade su samo vanjski, spektakularni dio teške službe. Navešću samo jedan primer, ali ću početi sa čudnim, ali međunarodno priznatim matematičkim predmetom. Godine 1852. jedan engleski student je pitao svog profesora da li je moguće obojiti kartu u četiri boje tako da susedne zemlje uvek budu prikazane različitim bojama? Dozvolite mi da dodam da "susjedima" ne smatramo one koji se susreću samo u jednoj tački, kao što su države Wyoming i Utah u SAD-u. Profesor nije znao... a problem je čekao na rješenje više od sto godina.

8. Ikosaedar iz RECO blokova. Reflektori blica pokazuju šta ikosaedar ima zajedničko sa trouglom i petouglom. Pet trouglova konvergira na svakom vrhu.

Desilo se na neočekivan način. Godine 1976. grupa američkih matematičara napisala je program za rješavanje ovog problema (i odlučili su: da, četiri boje će uvijek biti dovoljne). Ovo je bio prvi dokaz matematičke činjenice dobijene uz pomoć "matematičke mašine" - kako se kompjuter zvao pre pola veka (a i ranije: "elektronski mozak").

Ovdje je posebno prikazana "mapa Evrope" (sl. 9). One zemlje koje imaju zajedničku granicu su povezane. Bojenje mape je isto kao i bojanje krugova ovog grafa (koji se naziva graf) tako da nijedan povezani krug nije iste boje. Pogled na Lihtenštajn, Belgiju, Francusku i Nemačku pokazuje da tri boje nisu dovoljne. Ako želiš, Čitaoče, oboji ga u četiri boje.

9. Ko se s kim graniči u Evropi?

Pa da, ali da li je vrijedno novca poreskih obveznika? Dakle, pogledajmo isti grafikon malo drugačije. Zaboravite da postoje države i granice. Neka krugovi simboliziraju informacijske pakete koji se šalju s jedne tačke na drugu (na primjer, od P do EST), a segmenti predstavljaju moguće veze, od kojih svaka ima svoj propusni opseg. Poslati što je prije moguće?

Prvo, pogledajmo jednu vrlo pojednostavljenu, ali i vrlo zanimljivu situaciju sa matematičke tačke gledišta. Moramo poslati nešto od tačke S (= kao početak) do tačke M (= završetak) koristeći mrežu veza sa istim propusnim opsegom, recimo 1. Ovo vidimo u sl. 10.

10. Mreža veza od Statsyika Zdrój do Megapolisa.

Zamislimo da oko 89 bitova informacija treba poslati od S do M. Autor ovih riječi voli probleme oko vozova, pa zamišlja da je upravnik u Stacie Zdrój, odakle mora poslati 144 vagona. do stanice metropole. Zašto baš 144? Jer, kao što ćemo vidjeti, ovo će se koristiti za izračunavanje propusnosti cijele mreže. Kapacitet je 1 u svakoj partiji, tj. jedan automobil može proći u jedinici vremena (jedan bit informacija, moguće i Gigabyte).

Potrudimo se da se svi automobili sretnu u isto vrijeme u M. Svi stignu tamo za 89 jedinica vremena. Ako imam vrlo važan paket informacija od S do M za slanje, razbijem ga u grupe od 144 jedinice i proguram ga kao gore. Matematika garantuje da će ovo biti najbrže. Kako sam znao da ti treba 89? Zapravo sam pretpostavio, ali da nisam pogodio, morao bih to shvatiti Kirchhoffove jednadžbe (seća li se neko? - ovo su jednačine koje opisuju tok struje). Mrežni propusni opseg je 184/89, što je približno jednako 1,62.

O radosti

Inače, sviđa mi se broj 144. Voleo sam da se vozim autobusom sa ovim brojem do Trga zamka u Varšavi - kada pored njega nije bilo obnovljenog Kraljevskog dvorca. Možda mladi čitaoci znaju šta je tuce. To je 12 primjeraka, ali samo stariji čitaoci pamte da desetak, tj. 122=144, ovo je tzv. lot. I svako ko zna matematiku malo više od školskog programa to će odmah shvatiti sl. 10 imamo Fibonaccijeve brojeve i da je propusni opseg mreže blizu "zlatnog broja"

U Fibonaccijevom nizu, 144 je jedini broj koji je savršen kvadrat. Sto četrdeset četiri je takođe "radosni broj". Tako je indijski matematičar amater Dattatreya Ramachandra Caprecar 1955. godine nazvao je brojeve koji su djeljivi zbirom njihovih sastavnih cifara:

Da je znao Adam Mickiewicz, sigurno bi napisao ne u Dzyadyju: „Od strane majke; njegova krv su njegovi stari junaci / I ime mu je četrdeset četiri, samo elegantnije: I ime mu je sto četrdeset četiri.

Shvatite zabavu ozbiljno

Nadam se da sam uvjerio čitaoce da su sudoku zagonetke zabavna strana pitanja koja svakako zaslužuju da budu shvaćena ozbiljno. Ne mogu dalje da razvijam ovu temu. Oh, izračunavanje pune propusnosti mreže prema prikazanom dijagramu sl. 9 pisanje sistema jednačina bi trajalo dva ili više sati - možda čak i desetine sekundi (!) rada na računaru.