Obojeni kvadrati i pomračenja Sunca
U članku su opisani moji časovi za srednjoškolce - stipendiste Nacionalnog dječijeg fonda. Fondacija traži posebno darovitu djecu i mlade (od XNUMX. razreda osnovne škole do srednje škole) i nudi "stipendije" odabranim učenicima. Međutim, oni se uopće ne sastoje u podizanju gotovine, već u sveobuhvatnoj brizi za razvoj talenata, po pravilu, dugi niz godina. Za razliku od mnogih drugih projekata ovog tipa, poznati naučnici, kulturnjaci, istaknuti humanisti i drugi mudri ljudi, kao i pojedini političari, ozbiljno shvataju štićenike Fondacije.
Djelatnost Fondacije proteže se na sve discipline koje su osnovni školski predmeti, osim na sport, uključujući i umjetnost. Fond je nastao 1983. godine kao protuotrov tadašnjoj stvarnosti. Svako se može prijaviti u fond (obično preko škole, najbolje prije kraja školske godine), ali, naravno, postoji određeno sito, određena kvalifikaciona procedura.
Kao što sam već pomenuo, članak je zasnovan na mojim majstorskim kursevima, konkretno u Gdinji, u martu 2016. godine, u 24. nižoj školi u III gimnaziji. mornarica. Već dugi niz godina ove seminare pod pokroviteljstvom Fondacije organizuje Wojciech Thomalczyk, učitelj izuzetne karizme i visokog intelektualnog nivoa. Godine 2008. ušao je među deset najboljih u Poljskoj, koji su dobili zvanje profesora pedagogije (predviđeno zakonom prije mnogo godina). Ima malo preterivanja u izjavi: „Obrazovanje je osovina sveta“.
i mjesec su uvijek fascinantne - tada možete osjetiti da živimo na maloj planeti u ogromnom prostoru, gdje je sve u pokretu, mjereno centimetrima i sekundama. Čak me malo plaši, takođe i vremenska perspektiva. Saznajemo da će sljedeće potpuno pomračenje, vidljivo sa područja današnje Varšave, biti u ... 2681. Pitam se ko će to vidjeti? Prividne veličine Sunca i Mjeseca na našem nebu su gotovo iste - zato su pomračenja tako kratka i tako spektakularna. Vekovima bi te kratke minute trebalo da budu dovoljne astronomima da vide solarnu koronu. Čudno je da se dešavaju dva puta godišnje... ali to samo znači da se negdje na Zemlji mogu vidjeti na kratko. Kao rezultat plimnih kretanja, Mjesec se udaljava od Zemlje - za 260 miliona godina biće toliko udaljen da ćemo (mi???) vidjeti samo prstenaste pomračenja.
Očigledno prvi koji je predvidio Eclipse, bio je Tales iz Mileta (28-585 vek pne). Verovatno nećemo znati da li se to zaista dogodilo, odnosno da li je on to predvideo, jer činjenica da se pomračenje u Maloj Aziji dogodilo 567. maja 566. godine pre nove ere činjenica je potvrđena savremenim proračunima. Naravno, navodim podatke za današnje vreme. Kad sam bio dijete, zamišljao sam kako ljudi broje godine. Dakle, ovo je, na primjer, XNUMX godina prije Krista, dolazi Nova godina i ljudi se raduju: samo XNUMX godina prije nove ere! Kako su sigurno bili srećni kada je „naša era“ konačno stigla! Kakav prijelaz milenijuma koji smo doživjeli prije nekoliko godina!
Matematika izračunavanja datuma i raspona pomračenja, nije posebno komplikovano, ali je natrpano svim vrstama faktora povezanih s pravilnošću i, što je još gore, s neravnomjernim kretanjem tijela u orbitama. Čak bih volio da znam ovu matematiku. Kako je Tales iz Mileta mogao napraviti potrebne proračune? Odgovor je jednostavan. Morate imati kartu neba. Kako napraviti takvu mapu? To također nije teško, stari Egipćani su to znali učiniti. U ponoć dva sveštenika izlaze na krov hrama. Svaki od njih sjedne i crta ono što vidi (kao njegov kolega). Posle dve hiljade godina znamo sve o kretanju planeta...
Prekrasna geometrija, ili zabava na "ćilim"
Grci nisu voleli brojeve, pribegli su geometriji. To je ono što ćemo učiniti. Naš Eclipse bit će jednostavne, šarene, ali jednako zanimljive i stvarne. Prihvaćamo konvenciju da se plava figura kreće na način da pomrači crvenu. Nazovimo plavu figuru mjesec, a crvenu sunce. Postavljamo sebi sljedeća pitanja:
- koliko dugo traje pomračenje;
- kada je polovina mete pokrivena;
Rice. 1 Višebojni "tepih" sa suncem i mjesecom
- kolika je maksimalna pokrivenost;
- da li je moguće analizirati zavisnost pokrivenosti štita od vremena? U ovom članku (ograničen sam količinom teksta) fokusirat ću se na drugo pitanje. Iza ovoga je lijepa geometrija, možda bez dosadnih proračuna. Pogledajmo sl. 1. Može li se pretpostaviti da će biti povezano sa ... pomračenjem Sunca?
Iskreno moram reći da će zadaci o kojima ću govoriti biti posebno odabrani, prilagođeni znanjima i vještinama učenika srednjih i srednjih škola. Ali mi treniramo na takvim zadacima kao što muzičari sviraju skale, a sportisti rade opšte razvojne vežbe. Osim toga, nije li to samo prekrasan tepih (sl. 1)?
Rice. 2 "Plavi" Mjesec i "Crveno" Sunce
Naša nebeska tijela, barem u početku, bit će obojeni kvadrati. Mjesec je plav, sunce crveno (najbolje za bojenje). sa sadašnjošću Eclipse Mjesec juri sunce po nebu, sustiže ... i zatvara ga. Tako će biti i sa nama. Najjednostavniji slučaj, kada se Mjesec kreće u odnosu na Sunce, kao što je prikazano na sl. 2. Pomračenje počinje kada ivica Mjesečevog diska dodirne ivicu Sunčevog diska (Sl. 2) i završava se kada ga pređe.
Rice. 3 Mjesec se približava suncu dijagonalno
Pretpostavljamo da se "Mjesec" pomjera za jednu ćeliju u jedinici vremena, na primjer, u minuti. Pomračenje tada traje osam jedinica vremena, recimo minuta. Pola pomračenja sunca potpuno zatamnjen Polovina brojčanika se zatvara dva puta: nakon 2 i 6 minuta. Procentualni graf zatamnjenja je jednostavan. Tokom prve dvije minute, štit se ravnomjerno zatvara brzinom od nula do 1, sljedeće dvije minute je izložen istom brzinom.
Evo još zanimljivijeg primjera (slika 3). Mjesec se približava suncu dijagonalno. Prema našem dogovoru o plaćanju po minuti, pomračenje traje 8√2 minuta - usred ovog vremena imamo potpuno pomračenje. Izračunajmo koji je dio Sunca prekriven nakon vremena t (slika 3). Ako je od početka pomračenja prošlo t minuta, a kao rezultat toga Mjesec je kao što je prikazano na sl. 5, onda (pažnja!) Dakle, pokrivena je (površina kvadrata APQR), jednaka polovini solarnog diska; dakle, pokrivena je kada, tj. nakon 4 minute (zatim 4 minute prije kraja pomračenja).
Rice. 4 Grafikon funkcije "senčenja".
Totalnost traje jedan trenutak (t = 4√2), a graf funkcije "zasjenjenog dijela" sastoji se od dva luka parabola (slika 4).
Naš plavi mjesec će dodirnuti ugao sa crvenim suncem, ali će ga prekriti, ne idući dijagonalno, već blago dijagonalno. Zanimljiva geometrija se pojavljuje kada malo zakomplikujemo kretanje (slika 6). Smjer kretanja je sada vektorski [4,3], odnosno "četiri ćelije udesno, tri ćelije gore". Položaj Sunca je takav da pomračenje počinje (položaj A) kada se strane "nebeskih tijela" konvergiraju na četvrtinu njihove dužine. Kada se Mjesec pomakne u položaj B, pomračiće jednu šestinu Sunca, a u položaju C pomračiće polovinu. U poziciji D imamo potpuno pomračenje, a onda se sve vraća, "kako je bilo".
Rice. 5 Dio Sunca skriven za vrijeme t
Pomračenje se završava kada je Mjesec u položaju G. Trajalo je koliko god dužina presjeka AG. Ako, kao i ranije, za jedinicu vremena uzmemo vrijeme za koje Mjesec prođe "jedan kvadrat", onda je dužina AG jednaka. Ako bismo se vratili na staru konvenciju da su naša nebeska tijela 4 sa 4, rezultat bi bio drugačiji (šta?). Kao što je lako pokazati, cilj se zatvara nakon t < 15. Grafikon funkcije “postotak pokrivenosti ekrana” može se vidjeti na sl. 6.
Rice. 6 Grafikon funkcije "postotak zaštite".
Jednačina pomračenja i skoka
Rice. 7 Opstrukcija solarnog diska tokom pomračenja prikazanog na sl. 6
Problem pomračenja bio bi nepotpun da ne razmatramo slučaj krugova. Ovo je mnogo komplikovanije, ali hajde da pokušamo da shvatimo kada jedan krug pomrači polovinu drugog - iu najjednostavnijem slučaju, kada se jedan od njih kreće duž prečnika koji ih povezuje. Crtež je poznat vlasnicima neke kreditne kartice.
Izračunavanje položaja polja je komplikovano, jer zahteva, prvo, poznavanje formule za površinu kružnog segmenta, drugo, poznavanje luka ugla, i treće (i što je najgore), sposobnost za rješavanje određene jednačine skoka. Neću objašnjavati šta je "tranzitivna jednačina", pogledajmo primjer (slika 8).
Rice. 8 "Sferično" pomračenje
Kružni presjek je "zdjela" koja ostaje nakon rezanja kruga ravnom linijom. Površina takvog segmenta je S = 1/2r2(φ-sinφ), gdje je r polumjer kružnice, a φ centralni ugao na koji segment počiva (slika 8). To se lako postiže oduzimanjem površine trokuta od površine kružnog sektora.
Epizoda O1O2 (razmak između centara krugova) je tada jednak 2rcosφ/2, a visina (širina, „linija struka“) h = 2rsinφ/2. Dakle, ako želimo izračunati kada će Mjesec pokriti polovicu solarnog diska, moramo riješiti jednačinu: koja nakon pojednostavljenja postaje:
Rice. 9 Grafikoni dvije funkcije
Rješenje takvih jednadžbi ide dalje od jednostavne algebre - jednadžba sadrži oba ugla i njihove trigonometrijske funkcije. Jednačina je izvan dosega tradicionalnih metoda. Zato se i zove skočiti. Pogledajmo najprije grafove obje funkcije, odnosno funkcije i funkcije. Iz ove slike možemo pročitati približno rješenje. Međutim, možemo dobiti iterativnu aproksimaciju ili… koristiti opciju Solver u Excel tabeli. Svaki srednjoškolac bi to trebao da uradi, jer je 20. vek. Koristio sam sofisticiraniji alat Mathematica i evo našeg rješenja sa XNUMX decimalnih mjesta nepotrebne preciznosti:
SetPrecision[FindRoot[x==Sin[x]+Pi/2,{x,2}],20] {x⇒2.3098814600100574523}.
Rice. 10 Animacija pomračenja u matematici
Ovo pretvaramo u stepene množenjem sa 180/π. Dobijamo 132 stepena, 20 minuta, 45 i četvrt lučne sekunde. Računamo da je udaljenost do centra kruga O1O2 = 0,808 radijus, a "struk" 2,310.
