Geometrijske staze i šikare

Dok sam pisao ovaj članak, sjetio sam se vrlo stare pjesme Jana Pietrzaka, koju je pjevao prije svoje satirične aktivnosti u kabareu Pod Egidą, priznatom u Narodnoj Republici Poljskoj kao sigurnosni ventil; moglo bi se iskreno nasmejati paradoksima sistema. U ovoj pjesmi autor je preporučio socijalističko političko učešće, ismijavajući one koji žele da budu apolitični i gaseći radio u novinama. "Bolje je da se vratimo školskom čitanju", ironično je pjevao tada XNUMX-godišnji Petshak.

Vraćam se školskom čitanju. Ponovo čitam (ne prvi put) knjigu Ščepana Jelenskog (1881-1949) „Lylavati“. Za malo čitalaca, sama riječ nešto govori. Ovo je ime kćerke poznatog hinduističkog matematičara poznatog kao Bhaskara (1114-1185), po imenu Akaria, ili mudraca koji je tim imenom naslovio svoju knjigu o algebri. Lilavati je kasnije i sama postala poznata matematičarka i filozofkinja. Prema drugim izvorima, ona je sama napisala knjigu.

Szczepan Yelensky je dao isti naslov svojoj knjizi o matematici (prvo izdanje, 1926). Možda je čak i teško nazvati ovu knjigu matematičkim djelom - više je bila skup zagonetki i uglavnom prepisana iz francuskih izvora (autorska prava u modernom smislu nisu postojala). U svakom slučaju, dugi niz godina to je bila jedina popularna poljska knjiga o matematici - kasnije joj je dodata druga knjiga Jelenskog, Pitagorini slatkiši. Tako da mladi ljudi zainteresovani za matematiku (a to je upravo ono što sam ja nekada bio) nisu imali šta da biraju...

s druge strane, "Lilavati" se moralo znati skoro napamet... Ah, bilo je trenutaka... Njihova najveća prednost je bila što sam tada bio... tinejdžer. Danas, iz ugla jednog dobro obrazovanog matematičara, Lilavatija gledam na potpuno drugačiji način - možda kao penjač na zavojima staze do Špiglasove Pšelenče. Ni jedno ni drugo ne gube šarm... U svom karakterističnom stilu, Ščepan Jelenski, koji u svom ličnom životu ispoveda takozvane nacionalne ideje, piše u predgovoru:

Ne dotičući se opisa nacionalnih karakteristika, reći ću da ni nakon devedeset godina riječi Jelenskog o matematici nisu izgubile na važnosti. Matematika vas uči da razmišljate. To je činjenica. Možemo li vas naučiti da razmišljate drugačije, jednostavnije i ljepše? Možda. Samo... još ne možemo. Objašnjavam svojim učenicima koji ne žele da se bave matematikom da je to i test njihove inteligencije. Ako ne možete naučiti zaista jednostavnu teoriju matematike, onda... možda su vaše mentalne sposobnosti gore nego što bismo oboje htjeli...?

Znakovi u pesku

A evo i prve priče u "Lylavati" - priči koju je opisao francuski filozof Joseph de Maistre (1753-1821).

Mornara sa razbijenog broda talasi su bacili na praznu obalu koju je smatrao nenaseljenom. Iznenada je u obalskom pijesku ugledao trag geometrijske figure nacrtane ispred nekoga. Tada je shvatio da ostrvo nije pusto!

Citirajući de Mestrija, Jelenski piše: geometrijska figurato bi bio nem izraz za nesretnog, brodolomca, slučajnost, ali on mu je na prvi pogled pokazao proporciju i broj, i to je najavljivalo prosvijećenog čovjeka. Toliko o istoriji.

Imajte na umu da će mornar izazvati istu reakciju, na primjer, crtajući slovo K, ... i bilo koje druge tragove prisustva osobe. Ovdje je geometrija idealizirana.

Međutim, astronom Camille Flammarion (1847-1925) predložio je da se civilizacije pozdravljaju iz daljine koristeći geometriju. U tome je vidio jedini ispravan i mogući pokušaj komunikacije. Pokažimo takvim Marsovcima Pitagorine trouglove... oni će nam odgovoriti sa Talesom, mi ćemo njima odgovoriti Vieta šarama, njihov krug će se uklopiti u trougao, pa je počelo prijateljstvo...

Pisci kao što su Jules Verne i Stanislav Lem vratili su se ovoj ideji. A 1972. godine pločice sa geometrijskim (i ne samo) uzorcima postavljene su na sondi Pioneer, koja još uvijek prelazi prostranstva svemira, sada skoro 140 astronomskih jedinica od nas (1 I je prosječna udaljenost Zemlje od Zemlje) . Sunce, odnosno oko 149 miliona km). Pločicu je, dijelom, dizajnirao astronom Frank Drake, tvorac kontroverznog pravila o broju vanzemaljskih civilizacija.

Geometrija je neverovatna. Svi znamo opšte gledište o poreklu ove nauke. Mi (mi ljudi) smo tek počeli mjeriti zemlju (a kasnije i zemlju) u najkorisnije svrhe. Određivanje udaljenosti, crtanje pravih linija, označavanje pravih uglova i izračunavanje zapremina postepeno su postali neophodnost. Otuda cijela stvar geometrija (“Mjerenje zemlje”), otuda sva matematika...

Međutim, neko vrijeme nas je zamaglila ova jasna slika istorije nauke. Jer da je matematika potrebna samo u operativne svrhe, ne bismo se bavili dokazivanjem jednostavnih teorema. „Vidite da bi to uopšte trebalo da bude tačno“, rekao bi neko nakon što bi proverio da li je u nekoliko pravokutnih trouglova zbir kvadrata hipotenuze jednak kvadratu hipotenuze. Čemu takav formalizam?

Pita od šljiva mora da bude ukusna, kompjuterski program mora da radi, mašina mora da radi. Ako sam trideset puta izbrojao kapacitet bureta i sve je u redu, zašto inače?

U međuvremenu, starim Grcima je palo na pamet da treba pronaći neke formalne dokaze.

Dakle, matematika počinje sa Talesom (625-547 pne). Pretpostavlja se da se upravo Milet počeo pitati zašto. Pametnim ljudima nije dovoljno da su nešto videli, da su se u nešto uverili. Uvideli su potrebu za dokazom, logičnim nizom argumenata od pretpostavke do teze.

Htjeli su i više. Verovatno je Tales prvi pokušao da objasni fizičke pojave na naturalistički način, bez božanske intervencije. Evropska filozofija je započela filozofijom prirode – onim što već stoji iza fizike (otuda naziv: metafizika). Ali temelje evropske ontologije i prirodne filozofije postavili su pitagorejci (Pitagora, oko 580-oko 500 pne).

Osnovao je vlastitu školu u Crotoneu na jugu Apeninskog poluotoka - danas bismo to nazvali sektom. Nauka (u sadašnjem smislu te riječi), misticizam, religija i fantazija su usko isprepleteni. Tomas Man je veoma lepo prikazao lekcije matematike u nemačkoj gimnaziji u romanu Doktor Faustus. Preveli Maria Kuretskaya i Witold Virpsha, ovaj fragment glasi:

U zanimljivoj knjizi Charlesa van Dorena, Istorija znanja od praskozorja istorije do danas, pronašao sam veoma zanimljivu tačku gledišta. U jednom od poglavlja autor opisuje značaj pitagorejske škole. Oduševio me je i sam naslov poglavlja. Piše: "Izum matematike: Pitagorejci".

Često raspravljamo o tome da li se matematičke teorije otkrivaju (npr. nepoznate zemlje) ili izmišljaju (npr. mašine koje prije nisu postojale). Neki kreativni matematičari sebe vide kao istraživače, drugi kao pronalazače ili dizajnere, rjeđe kontradiktore.

Ali autor ove knjige piše o izumu matematike uopšte.

Od preterivanja do zablude

Nakon ovog dugog uvodnog dijela, preći ću na sam početak. geometrijada opiše kako pretjerano oslanjanje na geometriju može dovesti naučnika u zabludu. Johannes Kepler poznat je u fizici i astronomiji kao otkrića tri zakona kretanja nebeskih tijela. Prvo, svaka planeta u Sunčevom sistemu kreće se oko Sunca po eliptičnoj orbiti, u čijem je jednom od fokusa sunce. Drugo, u pravilnim intervalima vodeći zrak planete, povučen od Sunca, crta jednaka polja. Treće, omjer kvadrata perioda okretanja planete oko Sunca prema kocki velike poluose njene orbite (tj. prosječne udaljenosti od Sunca) je konstantan za sve planete u Sunčevom sistemu.

Možda je ovo bio treći zakon – za njegovo utvrđivanje bilo je potrebno mnogo podataka i proračuna, što je Keplera nagnalo da nastavi traganje za obrascima u kretanju i položaju planeta. Istorija njegovog novog "otkrića" je vrlo poučna. Od antike smo se divili ne samo pravilnim poliedrima, već i argumentima koji pokazuju da ih u svemiru ima samo pet. Trodimenzionalni poliedar se naziva regularnim ako su mu lica identični pravilni poligoni i svaki vrh ima isti broj ivica. Ilustrativno, svaki ugao pravilnog poliedra treba da "izgleda isto". Najpoznatiji poliedar je kocka. Svi su vidjeli običan članak.

Pravilni tetraedar je manje poznat, a u školi se naziva pravilnom trouglastom piramidom. Izgleda kao piramida. Preostala tri pravilna poliedra su manje poznata. Oktaedar se formira kada povežemo centre ivica kocke. Dodekaedar i ikosaedar već izgledaju kao lopte. Napravljene od meke kože, bile bi udobne za kopanje. Obrazloženje da ne postoje pravilni poliedri osim pet Platonovih tijela je vrlo dobro. Prvo, shvatamo da ako je telo pravilno, onda isti broj (neka q) identičnih pravilnih poligona mora konvergirati na svakom vrhu, neka su to p-uglovi. Sada moramo zapamtiti koji je ugao u pravilnom poligonu. Ako se neko ne sjeća iz škole, podsjećamo vas kako pronaći pravi uzorak. Zaputili smo se iza ugla. Kod svakog vrha skrećemo pod istim uglom a. Kada obiđemo poligon i vratimo se na početnu tačku, napravili smo p takvih zaokreta, a ukupno smo se okrenuli za 360 stepeni.

Ali α je komplement od 180 stepeni ugla koji želimo da izračunamo, i stoga je

Pronašli smo formulu za ugao (matematičar bi rekao: mjere ugla) pravilnog poligona. Provjerimo: u trouglu p = 3 nema a

Volim ovo. Kada je p = 4 (kvadrat), onda

stepeni je takođe u redu.

Šta dobijamo za pentagon? Dakle, šta se dešava kada postoji q poligona, a svaki p ima iste uglove

 stepeni opadajuće na jednom vrhu? Da je na ravni, tada bi se formirao ugao

stepeni i ne može biti veći od 360 stepeni - jer se tada poligoni preklapaju.

Međutim, pošto se ovi poligoni susreću u prostoru, ugao mora biti manji od punog ugla.

A evo i nejednakosti iz koje sve proizlazi:

Podijelite sa 180, pomnožite oba dijela sa p, red (p-2) (q-2) < 4. Šta slijedi? Budimo svjesni da p i q moraju biti prirodni brojevi i da je p > 2 (zašto? A šta je p?) i također q > 2. Ne postoji mnogo načina da se proizvod dva prirodna broja napravi manji od 4. Mi Sve ću ih navesti u tabeli 1.

Ne postavljam crteže, te figure svako može vidjeti na internetu... Na internetu... Neću odbiti lirsku digresiju - možda je zanimljivo mladim čitaocima. 1970. godine sam govorio na seminaru. Tema je bila teška. Imao sam malo vremena za pripremu, sjedio sam uveče. Glavni članak je bio na mjestu samo za čitanje. Mjesto je bilo ugodno, sa radnom atmosferom, pa zatvaralo se u sedam. Tada je mlada (sada moja supruga) sama ponudila da mi prepiše cijeli članak: desetak štampanih stranica. Prepisao sam ga (ne, ne perom, imali smo čak i olovke), predavanje je uspjelo. Danas sam pokušao pronaći ovu publikaciju, koja je već stara. Sećam se samo imena autora... Pretrage po internetu su dugo trajale... punih petnaest minuta. Razmišljam o tome sa smiješkom i malim neopravdanim žaljenjem.

Vraćamo se na Keplera i geometrija. Očigledno, Platon je predvidio postojanje petog regularnog oblika jer mu je nedostajalo nešto što ujedinjuje, što pokriva cijeli svijet. Možda je zato i uputio studenta (Theajtet) da je potraži. Kako je bilo, tako je bilo, na osnovu čega je otkriven dodekaedar. Ovaj stav Platona nazivamo panteizmom. Svi naučnici, sve do Newtona, podlegli su tome u većoj ili manjoj mjeri. Od vrlo racionalnog osamnaestog vijeka, njegov uticaj je drastično opao, iako se ne treba stidjeti činjenice da mu svi na ovaj ili onaj način podlegnemo.

U Keplerovom konceptu izgradnje Sunčevog sistema sve je bilo tačno, eksperimentalni podaci su se poklapali sa teorijom, teorija je bila logički koherentna, veoma lepa...ali potpuno lažna. U njegovo vrijeme bilo je poznato samo šest planeta: Merkur, Venera, Zemlja, Mars, Jupiter i Saturn. Zašto postoji samo šest planeta? upita Kepler. I koja pravilnost određuje njihovu udaljenost od Sunca? Pretpostavljao je da je sve povezano, to geometrije i kosmogonije su usko povezani jedno s drugim. Iz spisa starih Grka znao je da postoji samo pet pravilnih poliedara. Vidio je da postoji pet praznina između šest orbita. Dakle, možda svaki od ovih slobodnih prostora odgovara nekom pravilnom poliedru?

Nakon nekoliko godina posmatranja i teorijskog rada stvorio je sljedeću teoriju uz pomoć koje je prilično precizno izračunao dimenzije orbita, koju je predstavio u knjizi "Mysterium Cosmographicum", objavljenoj 1596. godine: Zamislite džinovsku sferu, čiji je prečnik prečnik orbite Merkura u njegovom godišnjem kretanju oko Sunca. Zatim zamislite da na ovoj sferi postoji pravilan oktaedar, na njoj sfera, na njoj ikosaedar, na njoj opet sfera, na njoj dodekaedar, na njoj druga sfera, na njoj tetraedar, pa opet sfera, kocka i, konačno, na ovoj kocki je opisana lopta.

Kepler je zaključio da su prečnici ovih uzastopnih sfera prečnici orbita drugih planeta: Merkura, Venere, Zemlje, Marsa, Jupitera i Saturna. Činilo se da je teorija vrlo tačna. Nažalost, to se poklopilo s eksperimentalnim podacima. A ima li boljeg dokaza o ispravnosti matematičke teorije od njene korespondencije s eksperimentalnim podacima ili podacima opservacija, posebno "uzetim s neba"? Sumiram ove proračune u Tabeli 2. Dakle, šta je Kepler uradio? Pokušavao sam i pokušavao sve dok nije uspjelo, odnosno kada su se konfiguracija (red sfera) i rezultirajući proračuni poklopili sa podacima opservacije. Evo modernih Keplerovih cifara i proračuna:

Može se podleći fascinaciji teorije i vjerovati da su mjerenja na nebu netačna, a ne proračuni napravljeni u tišini radionice. Nažalost, danas znamo da postoji najmanje devet planeta i da su sve slučajnosti rezultata samo slučajnost. Šteta. Bilo je tako lijepo...