Lem, Tokarčuk, Krakov, matematika

Od 3. do 7. septembra 2019. u Krakovu je održan jubilarni kongres Poljskog matematičkog društva. Godišnjica, jer stogodišnjica od osnivanja Društva. U Galiciji je postojala od 1. godine (bez pridjeva da je poljsko-liberalizam cara FJ1919. imao svoje granice), ali je kao općenarodna organizacija djelovala tek od 1919. godine. Veliki napredak u poljskoj matematici datira iz 1939. godine XNUMX-XNUMX. XNUMX na Univerzitetu Jan Casimir u Lavovu, ali konvencija se tamo nije mogla održati – a ni to nije najbolja ideja.

Susret je bio vrlo svečan, pun pratećih događaja (uključujući i nastup Jaceka Wojcickog u dvorcu u Niepolomice). Glavna predavanja je održalo 28 govornika. Bili su na poljskom jer su pozvani gosti bili Poljaci - ne nužno u smislu državljanstva, već su se prepoznali kao Poljaci. O da, samo trinaest predavača je došlo iz poljskih naučnih institucija, preostalih petnaest je bilo iz SAD (7), Francuske (4), Engleske (2), Njemačke (1) i Kanade (1). Pa ovo je dobro poznata pojava u fudbalskim ligama.

Najbolji stalno nastupaju u inostranstvu. Malo je tužno, ali sloboda je sloboda. Nekoliko poljskih matematičara ostvarilo je karijere u inostranstvu koje su u Poljskoj nedostižne. Novac ovdje igra sporednu ulogu, ali ne želim pisati o takvim temama. Možda samo dva komentara.

U Rusiji, a prije toga u Sovjetskom Savezu, to je bilo i jeste na najsvjesnijem nivou... i nekako niko ne želi da emigrira tamo. Zauzvrat, u Njemačkoj se desetak kandidata prijavi za profesorsko mjesto na bilo kojem univerzitetu (kolege sa Univerziteta u Konstanzu su rekli da su imali 120 prijava za godinu dana, od kojih je 50 bilo vrlo dobrih, a 20 odličnih).

Neka od predavanja jubilarnog kongresa mogu se sažeti u našem mjesečniku. Naslovi kao što su "Granice rijetkih grafova i njihove primjene" ili "Linearna struktura i geometrija podprostora i faktorskih prostora za visokodimenzionalne normalizirane prostore" neće reći ništa prosječnom čitaocu. Drugu temu je uveo moj prijatelj sa prvih kurseva, Nicole Tomchak.

Prije nekoliko godina nominirana je za ostvarenje predstavljeno u ovom predavanju. Fields Medal je ekvivalent za matematičare. Do sada je samo jedna žena dobila ovu nagradu. Vrijedi napomenuti i predavanje Anna Marcinyak-Chohra (Heidelberg University) "Uloga mehaničkih matematičkih modela u medicini na primjeru modeliranja leukemije".

upisao medicinu. Na Univerzitetu u Varšavi, grupa koju vodi prof. Jerzy Tyurin.

Čitaocima će biti nerazumljiv naziv predavanja Veslava Niziol (z prestiżowej Viša pedagoška škola) “-adična teorija Hodgea". Ipak, odlučio sam da ovdje prodiskutujem upravo ovo predavanje.

Geometrija -adični svjetovi

Počinje jednostavnim sitnicama. Sjećaš li se, čitaoče, metode pismene razmjene? Definitivno. Prisjetite se bezbrižnih godina osnovne škole. Podijelite 125051 sa 23 (ovo je radnja s lijeve strane). Znate li da može biti drugačije (akcija desno)?

Ova nova metoda je zanimljiva. Idem od kraja. Trebamo podijeliti 125051 sa 23. Sa čim trebamo pomnožiti 23 da bi zadnja cifra bila 1? Pretraživanje u memoriji i imamo :=7. Posljednja znamenka rezultata je 7. Pomnožite, oduzmite, dobijamo 489. Kako pomnožite 23 da na kraju dobijete 9? Naravno, sa 3. Dolazimo do tačke u kojoj određujemo sve brojeve rezultata. Smatramo da je to nepraktično i teže od naše uobičajene metode - ali to je stvar prakse!

Stvari se okreću drugačije kada hrabri čovjek nije potpuno podijeljen djeliteljem. Hajde da uradimo podjelu i vidimo šta će se desiti.

Na lijevoj strani je tipična školska staza. Desno je "naši čudni".

Oba rezultata možemo provjeriti množenjem. Prvo razumijemo: jedna trećina broja 4675 je hiljadu petsto pedeset osam, a tri u periodu. Drugo nema smisla: kojem broju prethodi beskonačan broj šestica, a zatim 8225?

Ostavimo na trenutak pitanje značenja. Zaigrajmo. Dakle, podijelimo 1 sa 3, a zatim 1 sa 7 što je jedna trećina i jedna sedma. Lako možemo dobiti:

1:3=…6666667, 1/7=…(285714)3.

Ovaj posljednji red znači: blok 285714 se na početku ponavlja beskonačno, a na kraju ih ima tri. Za one koji ne vjeruju, evo testa:

Sada dodajmo razlomke:

Zatim saberemo primljene čudne brojeve i dobijemo (provjerimo) isti čudan broj.

......95238095238095238095238010

Možemo provjeriti da li je ovo jednako

Suština tek treba da se vidi, ali aritmetika je tačna.

Još jedan primjer.

Uobičajeni, iako veliki, broj 40081787109376 ima zanimljivu osobinu: njegov kvadrat se također završava na 40081787109376. broj x40081787109376, koji je (x40081787109376)² također završava na x40081787109376.

Savjet. Imamo 40081787109376²= 16065496 57881340081787109376, tako da je sljedeća cifra komplementa tri prema deset, što je 7. Provjerimo: 740081787109376²= 5477210516110077400817 87109376.

Pitanje zašto je to tako je teško. Lakše je: pronađite slične završetke za brojeve koji se završavaju na 5. Nastavljajući proces traženja sljedećih cifara na neodređeno vrijeme, doći ćemo do takvih "brojeva" da ²=²= (i nijedan od ovih brojeva nije jednak nuli ili jedan).

dobro razumemo. Što je dalje od decimalnog zareza, to je broj manje važan. U inženjerskim proračunima važna je prva znamenka iza decimalnog zareza, kao i druga, ali se u mnogim slučajevima može pretpostaviti da je omjer obima kruga i njegovog prečnika 3,14. Naravno, više brojeva treba uključiti u avio industriju, ali mislim da ih neće biti više od deset.

Ime se pojavilo u naslovu članka Stanislav Lem (1921-2006), kao i naš novi nobelovac. Lady Olga Tokarčuk Ovo sam spomenuo samo zato vrišti nepravdaČinjenica je da Stanislav Lem nije dobio Nobelovu nagradu za književnost. Ali nije u našem uglu.

Lem je često predviđao budućnost. Pitao se šta će se dogoditi kada postanu nezavisni od ljudi. Koliko se filmova na ovu temu pojavilo u posljednje vrijeme! Lem je prilično precizno predvidio i opisao optički čitač i farmakologiju budućnosti.

Znao je matematiku, iako se prema njoj ponekad odnosio kao prema ukrasu, ne mareći za ispravnost proračuna. Na primjer, u priči "Suđenje", Pirksov pilot odlazi u orbitu B68 sa periodom rotacije od 4 sata i 29 minuta, a instrukcija je 4 sata i 26 minuta. Prisjeća se da su računali sa greškom od 0,3 posto. On daje podatke Kalkulatoru, a kalkulator odgovara da je sve u redu... Pa ne. Tri desetinke procenta od 266 minuta je manje od minute. Ali da li ova greška nešto mijenja? Možda je to bilo namjerno?

Zašto pišem o ovome? Mnogi matematičari su također postavili ovo pitanje: zamislite zajednicu. Oni nemaju naš ljudski um. Za nas su 1609,12134 i 1609,23245 vrlo bliski brojevi - dobre aproksimacije engleske milje. Međutim, računari mogu smatrati da su brojevi 468146123456123456 i 9999999123456123456 bliski. Imaju iste završetke od dvanaest cifara.

Što je uobičajenih cifara na kraju, to su brojevi bliži. A to vodi do takozvane distance -adic. Neka je za trenutak p jednako 10; zašto samo "na neko vrijeme", objasnit ću ... sada. Udaljenost od 10 tačaka gore napisanih brojeva je 

ili milioniti - jer ovi brojevi imaju šest zajedničkih cifara na kraju. Svi cijeli brojevi se razlikuju od nule za jedan ili manje. Neću ni pisati šablon jer nije bitno. Što je više identičnih brojeva na kraju, to su brojevi bliži (za osobu, naprotiv, uzimaju se u obzir početni brojevi). Važno je da p bude prost broj.

Zatim - vole nule i jedinice, pa sve vide u ovim obrascima: 0100110001 1010101101010101011001010101010101111.

U romanu Glos Pana, Stanisław Lem unajmljuje naučnike da pokušaju pročitati poruku poslanu iz zagrobnog života, naravno šifriranu nula-jedan. Piše li nam neko? Lem tvrdi da se "bilo koja poruka može pročitati ako je to poruka da nam je neko nešto htio reći." Ali je li? Ostaviću čitaoce sa ovom dilemom.

Živimo u XNUMXD prostoru R³. Pismo R podsjeća da se ose sastoje od realnih brojeva, tj. cijelih brojeva, negativnih i pozitivnih, nule, racionalnih (tj. razlomaka) i iracionalnih, koje su čitaoci upoznali u školi (), i brojeva poznatih kao transcendentalni brojevi, nedostupni u algebri (ovo je broj π , koji povezuje prečnik kruga sa njegovim obimom više od dve hiljade godina).

Šta ako su osi našeg prostora -adični brojevi?

Jerzy Mioduszowski, matematičar sa Univerziteta u Šleskoj, tvrdi da bi to moglo biti tako, pa čak i da bi moglo biti tako. Možemo (kaže Jerzy Mioduszowski) sa takvim bićima zauzeti isto mjesto u svemiru, a da se ne miješamo i ne vidimo jedni druge.

Dakle, imamo svu geometriju "njihovog" svijeta za istraživanje. Malo je vjerovatno da “oni” misle na isti način o nama i proučavaju našu geometriju, jer je naš granični slučaj svih “njihovih” svjetova. "Oni", odnosno svi pakleni svjetovi, gdje su prosti brojevi. Konkretno, = 2 i ovaj fascinantan svijet nula-jedan...

Ovdje se čitalac članka može naljutiti, pa čak i naljutiti. "Je li to glupost koju matematičari rade?" Maštaju o tome da piju votku nakon večere i koriste moj novac (=poreznih obveznika). I raspršite ih u četiri vjetra, neka idu na državne farme... o, nema više državnih farmi!

Opusti se. uvijek su imali sklonost takvim šalama. Dozvolite mi da pomenem samo teoremu o sendviču: ako imam sendvič sa sirom i šunkom, mogu ga iseći na jedan rez da prepolovim lepinju, šunku i sir. Ovo je beskorisno u praksi. Poenta je da je ovo samo razigrana primjena zanimljive opće teoreme iz funkcionalne analize.

Koliko je ozbiljno baviti se -adskim brojevima i povezanom geometrijom? Dozvolite mi da podsjetim čitaoca da racionalni brojevi (pojednostavljeno: razlomci) leže gusto na liniji, ali je ne ispunjavaju usko.

Iracionalni brojevi žive u "rupama". Ima ih mnogo, beskonačno mnogo, ali možete reći i da je njihova beskonačnost veća od onih najjednostavnijih, u kojima brojimo: jedan, dva, tri, četiri... i tako dalje do ∞. Ovo je naše ljudsko popunjavanje "rupa". Ovu mentalnu strukturu smo naslijedili od Pitagorejci. 

Ali ono što je interesantno i važno za matematičara je da se te rupe ne mogu "popuniti" iracionalnim i p-adskim brojevima (za sve proste p). Za one čitaoce koji ovo razumiju (a to se učilo u svakoj srednjoj školi prije trideset godina), poenta je da svaki niz koji zadovoljava Cauchyjevo stanje, konvergira.

Prostor u kojem je to istina naziva se kompletan („ništa ne nedostaje“). Zapamtit ću broj 547721051611007740081787109376.

Niz 0,5, 0,54, 0,547, 0,5477, 0,54772 i tako dalje konvergira do određene granice, koja je približno 0,5477210516110077400 81787109376.

Međutim, sa stanovišta 10-adične udaljenosti, niz brojeva 6, 76, 376, 9376, 109376, 7109376 i tako dalje također konvergira do "čudnog" broja... 547721051 611007740081787109376.

Ali čak ni to možda nije dovoljan razlog da se naučnicima da javni novac. Generalno, mi (matematičari) se branimo da je nemoguće predvideti za šta će naše istraživanje biti korisno. Gotovo je sigurno da će svi biti od koristi i da samo akcija na širem planu ima šanse za uspjeh.

Jedan od najvećih izuma, rendgenski aparat, nastao je nakon što je slučajno otkrivena radioaktivnost Bekkerela. Da nije bilo ovog slučaja, mnogo godina istraživanja vjerovatno bi bila beskorisna. "Tražimo način da napravimo rendgenski snimak ljudskog tijela."

Konačno, najvažnija stvar. Svi se slažu da sposobnost rješavanja jednačina igra ulogu. I ovdje su naši čudni brojevi dobro zaštićeni. Odgovarajuća teorema (Mrzim Minkowskog) kaže da se neke jednadžbe mogu riješiti u racionalnim brojevima ako i samo ako imaju realne korijene i korijene u svakom -adičnom tijelu.

Manje-više ovaj pristup je predstavljen Andrew Wiles, koji je riješio najpoznatiju matematičku jednačinu u posljednjih tri stotine godina - preporučujem čitateljima da je unesu u pretraživač "Fermatova posljednja teorema".