obrnuti šarm

Mnogo se priča o "čari suprotnosti", i to ne samo u matematici. Zapamtite da su suprotni brojevi oni koji se razlikuju samo po predznaku: plus 7 i minus 7. Zbir suprotnih brojeva je nula. Ali nama (tj. matematičarima) su reciproci zanimljiviji. Ako je proizvod brojeva jednak 1, onda su ti brojevi inverzni jedan drugom. Svaki broj ima svoju suprotnost, svaki broj različit od nule ima svoj inverz. Uzajamnost recipročnog je seme.

Inverzija se javlja gdje god su dvije veličine povezane jedna s drugom, tako da ako se jedna povećava, druga se smanjuje odgovarajućom brzinom. "Relevantno" znači da se proizvod ovih količina ne mijenja. Sjećamo se iz škole: ovo je inverzna proporcija. Ako želim dvaput brže doći do odredišta (tj. prepoloviti vrijeme), moram udvostručiti svoju brzinu. Ako se zapremina zatvorene posude sa gasom smanji za n puta, tada će se njen pritisak povećati za n puta.

U osnovnom obrazovanju pažljivo razlikujemo diferencijalna i relativna poređenja. "Koliko još"? – „Koliko puta više?“

Evo nekih školskih aktivnosti:

Zadatak 1. Od dvije pozitivne vrijednosti, prva je 5 puta veća od druge i istovremeno 5 puta veća od prve. Koje su dimenzije?

Zadatak 2. Ako je jedan broj za 3 veći od drugog, a drugi za 2 veći od trećeg, koliko je prvi broj veći od trećeg? Ako je prvi pozitivni broj dva puta veći od drugog, a prvi broj tri puta treći, koliko je puta prvi broj veći od trećeg?

Zadatak 3. U zadatku 2 dozvoljeni su samo prirodni brojevi. Da li je moguć takav aranžman kao što je tamo opisano?

Zadatak 4. Od dvije pozitivne vrijednosti, prva je 5 puta veća od druge, a druga je 5 puta veća od prve. Moguće je?

Koncept "prosječnog" ili "prosječnog" izgleda vrlo jednostavan. Ako sam biciklom vozio 55 km u ponedjeljak, 45 km u utorak i 80 km u srijedu, u prosjeku sam vozio 60 km dnevno. Svim srcem se slažemo sa ovim proračunima, iako su malo čudni jer nisam prešao 60 km u jednom danu. Jednako lako prihvatamo udjele osobe: ako dvije stotine ljudi posjeti restoran u roku od šest dana, onda je prosječna dnevna stopa 33 i trećina ljudi. HM!

Problemi postoje samo sa prosječnom veličinom. Volim biciklizam. Tako sam iskoristio ponudu turističke agencije "Idemo s nama" - oni dostave prtljag do hotela, gdje se klijent vozi biciklom u rekreativne svrhe. U petak sam vozio četiri sata: prva dva brzinom od 24 km na sat. Tada sam se toliko umorio da sam naredna dva brzinom od samo 16 na sat. Koja je bila moja prosječna brzina? Naravno (24+16)/2=20km=20km/h.

Međutim, u subotu je prtljag ostavljen u hotelu, a ja sam otišao da vidim ruševine dvorca koji je udaljen 24 km i nakon što sam ih vidio vratio sam se. Vozio sam sat vremena u jednom pravcu, vraćao se sporije, brzinom od 16 km na sat. Koja je bila moja prosječna brzina na relaciji hotel-dvorac-hotel? 20 km na sat? Naravno da ne. Na kraju krajeva, vozio sam ukupno 48 km i trebalo mi je sat (“tamo”) i sat i po nazad. 48 km za dva i po sata, tj. sat 48/2,5=192/10=19,2 km! U ovoj situaciji, srednja brzina nije aritmetička sredina, već harmonik datih vrednosti:

a ova dvospratna formula se može pročitati na sljedeći način: harmonijska sredina pozitivnih brojeva je recipročna vrijednost aritmetičke sredine njihove recipročne vrijednosti. Recipročna vrijednost zbira inverza pojavljuje se u mnogim horovima školskih zadataka: ako jedan radnik kopa sate, drugi - b sati, onda, radeći zajedno, kopaju na vrijeme. vodeni bazen (jedan na sat, drugi na b sati). Ako jedan otpornik ima R1, a drugi R2, onda oni imaju paralelni otpor. 

Ako jedan računar može da reši problem za nekoliko sekundi, drugi računar za b sekundi, onda kada rade zajedno...

Stani! Tu se analogija završava, jer sve zavisi od brzine mreže: efikasnosti veza. Radnici također mogu ometati ili pomagati jedni drugima. Ako jedan čovjek može iskopati bunar za osam sati, može li osamdeset radnika to učiniti za 1/10 sata (ili 6 minuta)? Ako šest nosača odnese klavir na prvi sprat za 6 minuta, koliko će jednom od njih trebati da dostavi klavir na šezdeseti sprat? Apsurd takvih problema podsjeća na ograničenu primjenjivost sve matematike na probleme "iz života".

O moćnom prodavcu 

Vaga se više ne koristi. Podsjetimo da je na jednu posudu takve vage stavljen uteg, a na drugu robu koja se vagala, a kada je težina bila u ravnoteži, tada je roba težila koliko i težina. Naravno, oba kraka tereta moraju biti iste dužine, inače će vaganje biti netačno.

O da. Zamislite prodavača koji ima težinu s nejednakom polugom. Međutim, želi biti pošten prema kupcima i vaga robu u dvije serije. Prvo na jednu tavu stavlja uteg, a na drugu odgovarajuću količinu robe - tako da vaga bude u ravnoteži. Zatim drugu "polovinu" robe vaga obrnutim redoslijedom, odnosno stavlja teg na drugu posudu, a robu na prvu. Pošto su ruke nejednake, "polovice" nikada nisu jednake. I savjest prodavca je čista, a kupci hvale njegovo poštenje: "Ono što sam ovdje uklonio, onda sam dodao."

Međutim, pogledajmo pobliže ponašanje prodavača koji želi biti pošten unatoč nesigurnoj težini. Neka krakovi ravnoteže imaju dužine a i b. Ako je jedna od posuda opterećena težinom kilograma, a druga x robom, tada je vaga u ravnoteži ako je ax = b prvi put i bx = a drugi put. Dakle, prvi dio robe je jednak b / a kilogram, drugi dio je a / b. Dobra težina ima a = b, pa će kupac dobiti 2 kg robe. Hajde da vidimo šta se dešava kada je a ≠ b. Tada je a – b ≠ 0 i iz redukovane formule množenja imamo

Došli smo do neočekivanog rezultata: naizgled poštena metoda "prosječenja" mjerenja u ovom slučaju radi u korist kupca, koji dobija više robe.

5 posao. (Važno, nikako u matematici!). Komarac je težak 2,5 miligrama, a slon pet tona (ovo je sasvim tačan podatak). Izračunajte aritmetičku sredinu, geometrijsku sredinu i harmonijsku sredinu masa (težina) komaraca i slona. Provjerite proračune i provjerite imaju li ikakvog smisla osim aritmetičkih vježbi. Pogledajmo druge primjere matematičkih proračuna koji nemaju smisla u "stvarnom životu". Savjet: Već smo pogledali jedan primjer u ovom članku. Znači li to da je anonimni student čije sam mišljenje pronašao na internetu bio u pravu: „Matematika zavarava ljude brojevima“?

Da, slažem se da u veličini matematike možete "prevariti" ljude - svaka druga reklama za šampon kaže da povećava paperjastost za neki postotak. Hoćemo li potražiti druge primjere korisnih svakodnevnih alata koji se mogu koristiti za kriminalne aktivnosti?

Grams!

Naslov ovog odlomka je glagol (prvo lice množine), a ne imenica (imenik množine od hiljaditi deo kilograma). Harmonija podrazumeva red i muziku. Za stare Grke muzika je bila grana nauke – mora se priznati da ako tako kažemo prenosimo današnje značenje reči „nauka“ u vreme pre naše ere. Pitagora je živeo u XNUMX veku pre nove ere. Ne samo da nije poznavao kompjuter, mobilni telefon i e-poštu, već nije znao ni ko su Robert Lewandowski, Mieszko I, Karlo Veliki i Ciceron. Nije znao ni arapske ni rimske brojeve (ušli su u upotrebu oko XNUMX. veka pre nove ere), nije znao šta su bili Punski ratovi... Ali je znao muziku...

Znao je da su na žičanim instrumentima koeficijenti vibracije obrnuto proporcionalni dužini vibrirajućih dijelova žica. Znao je, znao je, jednostavno nije mogao to izraziti na način na koji to činimo danas.

Frekvencije dviju vibracija žica koje čine oktavu su u omjeru 1:2, odnosno frekvencija više note je dvostruko veća od frekvencije niže. Tačan odnos vibracija za kvintu je 2:3, četvrtu je 3:4, čista velika terca je 4:5, mala terca je 5:6. Ovo su prijatni suglasnički intervali. Zatim postoje dva neutralna, sa omjerom vibracija 6:7 i 7:8, zatim disonantni - veliki ton (8:9), mali ton (9:10). Ovi razlomci (omjeri) su poput omjera uzastopnih članova niza koji matematičari (iz tog razloga) nazivaju harmonijski niz:

je teoretski beskonačan zbir. Odnos oscilacija oktave možemo zapisati kao 2:4 i između njih staviti kvintu: 2:3:4, odnosno oktavu ćemo podijeliti na kvintu i kvartu. To se u matematici naziva harmonijska podjela na segmente:

Rice. 1. Za muzičara: dijeljenje oktave AB na petu AC.Za matematičara: Harmonična segmentacija

Šta mislim kada govorim (gore) o teorijski beskonačnom zbiru, kao što je harmonijski niz? Ispostavilo se da takav zbir može biti bilo koji veliki broj, glavna stvar je da sabiramo dugo vremena. Sve je manje sastojaka, ali ih je sve više. Šta prevladava? Ovdje ulazimo u područje matematičke analize. Ispostavilo se da su sastojci iscrpljeni, ali ne baš brzo. Pokazat ću da uzimajući dovoljno sastojaka, mogu sumirati:

proizvoljno velika. Uzmimo "na primjer" n = 1024. Grupirajmo riječi kao što je prikazano na slici:

U svakoj zagradi svaka je riječ veća od prethodne, osim, naravno, posljednje, koja je jednaka samoj sebi. U sljedećim zagradama imamo 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 i 512 komponenti; vrijednost zbroja u svakoj zagradi je veća od ½. Sve ovo je više od 5½. Tačnije kalkulacije bi pokazale da je ovaj iznos otprilike 7,50918. Ne mnogo, ali uvijek, i možete vidjeti da uzimajući n bilo koje veliko, mogu nadmašiti bilo koji broj. Ovaj je nevjerovatno spor (na primjer, prvih deset smo sa samo sastojcima), ali beskonačan rast oduvijek je fascinirao matematičare.

Putovanje u beskonačnost uz harmonijsku seriju

Evo zagonetke neke prilično ozbiljne matematike. Imamo neograničenu ponudu pravougaonih blokova (šta da kažem, pravougaonih!) dimenzija, recimo, 4 × 2 × 1. Zamislite sistem koji se sastoji od nekoliko (na sl. 2 - četiri) blokovi, raspoređeni tako da je prvi nagnut za ½ svoje dužine, drugi odozgo za ¼ i tako dalje, treći za jednu šestinu. Pa, možda da bude stvarno stabilan, nagnimo prvu ciglu malo manje. Nije bitno za kalkulacije.

Rice. 2. Određivanje centra gravitacije

Takođe je lako razumjeti da budući da figura sastavljena od prva dva bloka (računajući odozgo) ima centar simetrije u tački B, onda je B centar gravitacije. Hajde da geometrijski definišemo centar gravitacije sistema, sastavljen od tri gornja bloka. Ovdje je dovoljan vrlo jednostavan argument. Podijelimo mentalno sastav od tri bloka na dva gornja i treći donji. Ovo središte mora ležati na dijelu koji povezuje težišta dva dijela. U kom trenutku u ovoj epizodi?

Postoje dva načina za označavanje. U prvom ćemo koristiti zapažanje da ovaj centar mora ležati u sredini piramide od tri bloka, odnosno na pravoj liniji koja seče drugi, srednji blok. Na drugi način, razumijemo da budući da dva gornja bloka imaju ukupnu masu dvostruko veću od jednog bloka #3 (vrh), težište na ovom dijelu mora biti dvostruko bliže B nego centru S trećeg bloka. Slično, nalazimo sljedeću tačku: povezujemo pronađeno središte tri bloka sa centrom S četvrtog bloka. Centar cijelog sistema je na visini 2 iu tački koja dijeli segment sa 1 na 3 (odnosno za ¾ njegove dužine).

Proračuni koje ćemo provesti malo dalje dovode do rezultata prikazanog na Sl. sl. 3. Uzastopni centri gravitacije uklanjaju se s desne ivice donjeg bloka:

Dakle, projekcija težišta piramide je uvijek unutar baze. Toranj se neće prevrnuti. Sada pogledajmo sl. 3 i na trenutak, upotrijebimo peti blok odozgo kao osnovu (onaj označen svjetlijom bojom). Vrh nagnut:

stoga je njegova lijeva ivica 1 dalje od desne ivice baze. Evo sljedećeg zamaha:

Koji je najveći zamah? Već znamo! Nema najveće! Uzimajući čak i najmanje blokove, možete dobiti previs od jednog kilometra - nažalost, samo matematički: cijela Zemlja ne bi bila dovoljna da izgradi toliko blokova!

Rice. 3. Dodajte još blokova

Sada kalkulacije koje smo ostavili iznad. Sve udaljenosti ćemo izračunati "horizontalno" na x-osi, jer je to sve što je potrebno. Tačka A (težište prvog bloka) je 1/2 od desne ivice. Tačka B (centar sistema od dva bloka) udaljena je 1/4 od desne ivice drugog bloka. Neka početna tačka bude kraj drugog bloka (sada ćemo prijeći na treći). Na primjer, gdje je centar gravitacije jednog bloka #3? Polovina dužine ovog bloka, dakle, iznosi 1/2 + 1/4 = 3/4 od naše referentne tačke. Gdje je tačka C? U dvije trećine segmenta između 3/4 i 1/4, odnosno u tački prije, mijenjamo referentnu tačku na desnu ivicu trećeg bloka. Težište sistema od tri bloka sada je uklonjeno iz nove referentne tačke, i tako dalje. Težište C_n toranj sastavljen od n blokova udaljen je 1/2n od trenutne referentne tačke, koja je desna ivica osnovnog bloka, odnosno n-ti blok od vrha.

Pošto se niz recipročnih vrednosti divergira, možemo dobiti bilo koju veliku varijaciju. Da li bi se ovo zaista moglo implementirati? To je poput beskrajne kule od cigle - prije ili kasnije će se srušiti pod vlastitom težinom. U našoj šemi, minimalne nepreciznosti u postavljanju blokova (i sporo povećanje parcijalnih suma serije) znači da nećemo stići daleko.