pet puta u oko
Krajem 2020. godine održano je nekoliko događaja na fakultetima i školama, odgođenih sa ... marta. Jedna od njih je bila "proslava" dana pi. Ovom prilikom, 8. decembra, održao sam predavanje na daljinu na Univerzitetu u Šleskoj, a ovaj članak je sažetak predavanja. Cijela zabava je počela u 9.42, a moje predavanje je zakazano za 10.28. Odakle takva tačnost? Jednostavno je: 3 puta pi je oko 9,42, a π na 2. stepen je oko 9,88, a sat 9 na 88. stepen je 10 na 28. ...
Običaj poštovanja ovog broja, koji izražava odnos obima kruga i njegovog prečnika i ponekad se naziva Arhimedovom konstantom (kao i u kulturama njemačkog govornog područja), dolazi iz SAD-a (vidi također: ). 3.14 Mart “American style” u 22:22, otuda ideja. Poljski ekvivalent mogao bi biti 7. jul jer je razlomak 14/XNUMX dobro približno π, što je... Arhimed je već znao. Pa, XNUMX mart je najbolje vrijeme za sporedne događaje.
Ove tri i četrnaest stotinki jedna su od rijetkih matematičkih poruka koje su nam ostale iz škole za cijeli život. Svi znaju šta to znači"pet puta u oko". Toliko je ukorijenjen u jeziku da ga je teško izraziti drugačije i s istom gracioznošću. Kada sam u automehaničarskoj radionici pitao koliko bi popravka mogla da košta, mehaničar je razmislio i rekao: „pet puta oko osam stotina zlota“. Odlučio sam da iskoristim situaciju. "Mislite grubu aproksimaciju?". Mehaničar je sigurno mislio da sam pogrešno čuo, pa je ponovio: "Ne znam tačno koliko, ali pet puta na oko bi bilo 800."
.
O čemu se radi? Pravopis prije Drugog svjetskog rata koristio je "ne" zajedno, a ja sam to ostavio tamo. Ne radi se ovdje o pretjerano pompeznoj poeziji, iako mi se sviđa ideja da „zlatni brod crpi sreću“. Pitajte učenike: Šta ova misao znači? Ali vrijednost ovog teksta leži na drugom mjestu. Broj slova u sljedećim riječima su cifre pi ekstenzije. da vidimo:
Π ≈ 3,141592 653589 793238 462643 383279 502884 197169 399375 105820 974944 592307 816406 286208 998628 034825 342117 067982 148086 513282 306647 093844 609550 582231 725359 408128
Godine 1596. holandski naučnik njemačkog porijekla Ludolph van Seulen izračunao vrijednost pi na 35 decimalnih mjesta. Zatim su ove figure uklesane na njegovom grobu. Posvetila je pesmu broju pi i našem nobelovcu, Vislava Šimborska. Szymborska je bila fascinirana neperiodičnošću ovog broja i činjenicom da će se sa vjerovatnoćom 1 svaki niz cifara, kao što je naš telefonski broj, pojaviti tamo. Dok je prvo svojstvo svojstveno svakom iracionalnom broju (što bi trebalo da zapamtimo iz škole), drugo je zanimljiva matematička činjenica koju je teško dokazati. Možete čak pronaći i aplikacije koje nude: dajte mi svoj broj telefona i reći ću vam gdje se nalazi u pi.
Gdje je zaobljenost, tamo je i san. Ako imamo okruglo jezero, hodanje oko njega je 1,57 puta duže od kupanja. Naravno, to ne znači da ćemo plivati jedan i po do dva puta sporije nego što ćemo proći. Podijelio sam svjetski rekord na 100 metara sa svjetskim rekordom na 100 metara. Zanimljivo je da je kod muškaraca i žena rezultat skoro isti i iznosi 4,9. Plivamo 5 puta sporije nego trčimo. Veslanje je potpuno drugačije – ali zanimljiv izazov. Ima prilično dugu priču.
Bježeći od Zlikovca koji ga je progonio, zgodan i plemenit Dobri doplovio je do jezera. Zlikovac trči obalom i čeka da ga ona natera da sleti. Naravno, on trči brže od Dobry rows, a ako trči glatko, Dobri je brži. Dakle, jedina šansa za Zlo je da izvuče Dobra sa obale - precizan hitac iz revolvera nije opcija, jer. Dobro ima vrijedne informacije koje Zlo želi znati.
Good se pridržava sljedeće strategije. On pliva preko jezera, postepeno se približava obali, ali uvijek pokušava da bude na suprotnoj strani od Zloga, koji nasumično trči lijevo, pa desno. Ovo je prikazano na slici. Neka početna pozicija zla bude Z1, a Dobre je sredina jezera. Kada Zly pređe na Z1, Dobro će doploviti do D.1kada je loše u Z2, bravo za D2. Teći će cik-cak, ali u skladu sa pravilom: što dalje od Z. Međutim, kako se udaljava od centra jezera, Dobro se mora kretati u sve većim i većim krugovima, a u jednom trenutku ne može pridržavati se principa “biti s druge strane zla”. Zatim je svom snagom doveslao do obale, nadajući se da Zli neće zaobići jezero. Hoće li Good uspjeti?
Odgovor ovisi o tome koliko brzo Good može veslati u odnosu na vrijednost Badovih nogu. Pretpostavimo da loš čovjek trči brzinom s puta većom od brzine dobrog čovjeka na jezeru. Dakle, najveći krug, po kojem Dobro može veslati kako bi se oduprijeo zlu, ima polumjer koji je jedan puta manji od poluprečnika jezera. Dakle, na crtežu imamo. U tački W, naš Kind počinje veslati prema obali. Ovo mora proći
sa brzinom
Treba mu vremena.
Wicked juri sve svoje najbolje noge. Mora završiti polovinu kruga, što će mu trebati sekunde ili minute, ovisno o odabranim jedinicama. Ako je ovo više nego srećan kraj:
Onaj dobar će otići. Jednostavni računi pokazuju šta bi trebalo da bude. Ako loš čovjek trči brže od 4,14 puta od dobrog čovjeka, to se ne završava dobro. I ovdje također interveniše naš broj pi.
Lepo je ono što je okruglo. Pogledajmo fotografiju tri ukrasne ploče - imam ih po roditeljima. Kolika je površina krivolinijskog trokuta između njih? Ovo je jednostavan zadatak; odgovor je na istoj fotografiji. Ne čudi nas što se pojavljuje u formuli – na kraju krajeva, gdje je zaobljenost, tu je i pi.
Koristio sam možda nepoznatu riječ:. Ovo je naziv broja pi u kulturi njemačkog govornog područja, a sve to zahvaljujući Holanđanima (zapravo Nijemcu koji je živio u Holandiji - nacionalnost u to vrijeme nije bila bitna), Ludolf od Seulena... Godine 1596 g. izračunao je 35 cifara svog proširenja na decimalu. Taj se rekord održao do 1853. godine, kada William Rutherford broji 440 mjesta. Rekorder za ručne proračune je (vjerovatno zauvijek) William Shankskoji je nakon dugogodišnjeg rada objavio (1873.) proširenje na 702 cifre. Tek 1946. godine otkriveno je da je zadnjih 180 cifara netačno, ali je tako i ostalo. 527 tačno. Bilo je zanimljivo pronaći samu bubu. Ubrzo nakon objave Shanksovog rezultata, posumnjali su da "nešto nije u redu" - bilo je sumnjivo nekoliko sedmica u razvoju. Još nedokazana hipoteza (decembar 2020.) kaže da bi se svi brojevi trebali pojavljivati istom frekvencijom. Ovo je navelo D.T. Fergusona da revidira Shanksove proračune i pronađe grešku "učenika"!
Kasnije su ljudima pomogli kalkulatori i kompjuteri. Trenutni (decembar 2020.) rekorder je Timothy Mullican (50 triliona decimala). Proračuni su trajali... 303 dana. Hajde da se igramo: koliko bi prostora zauzeo ovaj broj, štampan u standardnoj knjizi. Donedavno je štampana "strana" teksta bila 1800 karaktera (30 redova sa 60 redova). Smanjimo broj znakova i margina stranice, naguramo 5000 znakova po stranici i odštampajmo knjige od 50 stranica. Dakle, za XNUMX triliona likova trebalo bi deset miliona knjiga. Nije loše, zar ne?
Pitanje je koja je svrha takve borbe? Sa čisto ekonomske tačke gledišta, zašto bi poreski obveznici plaćali takvu "zabavu" matematičara? Odgovor nije težak. prvo, iz Seulena izmislili praznine za proračune, tada korisno za logaritamska izračunavanja. Da mu je rečeno: molim te, napravi blanke, on bi odgovorio: zašto? Slično naredba:. Kao što znate, ovo otkriće nije bilo sasvim slučajno, ali ipak nusproizvod istraživanja drugačijeg tipa.
Drugo, hajde da pročitamo šta piše Timothy Mullican. Evo reprodukcije početka njegovog rada. Profesor Mullican se bavi sajber-bezbednošću, a pi je tako mali hobi da je upravo testirao svoj novi sistem sajber bezbednosti.
A to 3,14159 u inženjerstvu je više nego dovoljno, to je druga stvar. Uradimo jednostavnu kalkulaciju. Jupiter je 4,774 Tm udaljen od Sunca (terametar = 1012 metara). Da bi se izračunao obim takve kružnice s takvim poluprečnikom do apsurdne preciznosti od 1 milimetra, bilo bi dovoljno uzeti π = 3,1415926535897932.
Sljedeća fotografija prikazuje četvrtinu kruga Lego kockica. Koristio sam 1774 jastučića i bio je oko 3,08 pi. Nije najbolje, ali šta očekivati? Krug se ne može sastaviti od kvadrata.
Upravo. Poznato je da je broj pi krug kvadrat - matematički problem koji je čekao svoje rješenje više od 2000 godina - još od grčkih vremena. Da li je moguće sa šestarom i ravnalom konstruisati kvadrat čija je površina jednaka površini date kružnice?
Termin "kvadrat kruga" ušao je u govorni jezik kao simbol nečeg nemogućeg. Pritiskam tipku da pitam, da li je ovo neka vrsta pokušaja da se popuni rov neprijateljstva koji razdvaja građane Lijepe naše? Ali već izbjegavam ovu temu, jer se vjerovatno osjećam samo u matematici.
I opet ista stvar - rješenje problema kvadrature kruga nije se pojavilo na način da autor rješenja, Charles Lindemann, 1882. godine je postavljen i konačno je uspio. Donekle da, ali to je bio rezultat napada sa širokog fronta. Matematičari su naučili da postoje različite vrste brojeva. Ne samo cijeli brojevi, racionalni (tj. razlomci) i iracionalni. Nemjerljivost također može biti bolja ili gora. Možda se iz škole sjećamo da je iracionalni broj √2 - broj koji izražava omjer dužine dijagonale kvadrata i dužine njegove stranice. Kao i svaki iracionalni broj, ima neodređeno proširenje. Da vas podsjetim da je periodično širenje svojstvo racionalnih brojeva, tj. privatni cijeli brojevi:
Ovdje se niz brojeva 142857 ponavlja beskonačno.Za √2 to se neće dogoditi - to je dio iracionalnosti. Ali možete:
(razlomak se nastavlja zauvijek). Ovdje vidimo obrazac, ali drugačijeg tipa. Pi čak i nije toliko uobičajen. Ne može se dobiti rješavanjem algebarske jednadžbe - odnosno one u kojoj nema ni kvadratnog korijena, ni logaritma, ni trigonometrijskih funkcija. Ovo već pokazuje da nije konstruibilno – crtanje krugova vodi do kvadratnih funkcija, a prave – prave – do jednačina prvog stepena.
Možda sam odstupio od glavne radnje. Tek razvoj cjelokupne matematike omogućio je povratak iskonima - drevnoj lijepoj matematici mislilaca koji su za nas stvorili evropsku kulturu mišljenja, u koju danas neki toliko sumnjaju.
Od brojnih reprezentativnih uzoraka odabrao sam dva. Prvu od njih povezujemo s prezimenom Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).
Ali bio je poznat (model, ne Leibniz) srednjovjekovnom hinduističkom učenjaku Madhavi iz Sangamagrama (1350-1425). Prijenos informacija u to vrijeme nije bio sjajan - internetske veze su često bile pokvarene, a nije bilo baterija za mobilne telefone (jer elektronika još nije bila izumljena!). Formula je lijepa, ali beskorisna za proračune. Od stotinu sastojaka dobije se "samo" 3,15159.
on je malo bolji Vièteova formula (onaj iz kvadratnih jednadžbi) i njegovu formulu je lako programirati jer je sljedeći član u proizvodu kvadratni korijen od prethodnih plus dva.
Znamo da je krug okrugao. Možemo reći da je ovo 100 posto runda. Matematičar će pitati: može li nešto biti ne 1 posto okruglo? Očigledno, ovo je oksimoron, fraza koja sadrži skrivenu kontradikciju, kao što je, na primjer, vrući led. Ali hajde da pokušamo da izmerimo koliko oblici mogu biti okrugli. Ispostavilo se da je dobra mjera data sljedećom formulom, u kojoj je S površina, a L obim figure. Hajde da saznamo da je krug zaista okrugao, da je sigma 6. Površina kruga je obim. Ubacujemo ... i vidimo šta je ispravno. Koliko je kvadrat okrugao? Računice su isto tako jednostavne, neću ih ni iznositi. Uzmite pravilan šestougao upisan u krug poluprečnika. Perimetar je očigledno XNUMX.
Pole
Šta kažete na običan šestougao? Njegov obim je 6 i njegova površina
Tako da imamo
što je približno jednako 0,952. Šestougao je više od 95% "okrugli".
Zanimljiv rezultat se dobija pri izračunavanju zaobljenosti sportskog stadiona. Prema IAAF pravilima, ravne i krivine moraju biti dugačke 40 metara, iako su odstupanja dozvoljena. Sjećam se da je stadion Bislet u Oslu bio uzak i dugačak. Pišem "bio" jer sam čak i trčao na njemu (amaterski!), ali prije više od XNUMX godina. Hajde da pogledamo:
Ako luk ima radijus od 100 metara, poluprečnik tog luka je metara. Površina travnjaka je kvadratnih metara, a površina izvan njega (gdje se nalaze odskočne daske) je kvadratna metra. Ubacimo ovo u formulu:
Dakle, da li okruglost sportskog stadiona ima ikakve veze sa jednakostraničnim trouglom? Zato što je visina jednakostraničnog trougla jednaka broju stranica. To je slučajna slučajnost brojeva, ali je lijepo. Sviđa mi se. A čitaoci?
Pa dobro je što je okruglo, mada bi se neki mogli buniti jer je virus koji nas pogađa sve okrugao. Barem to tako crtaju.
